Zu §13: \underline{Polynomringe}

Wir alle “kennen“ Polynome der Form

f = a_{0} + a_{1}T^{1} + a_{2}T^{2} + … + a_{m}T^{m}

mit reellen Koeffizienten a_{k} und einer “Unbestimmten“ T, für die wir reelle (und sogar komplexe) Zahlen einsetzen können. Polynome lassen sich addieren und multiplizieren, sie bilden einen Ring. Bei zwei gleichen Polynomen können wir Koeffizientenvergleich vornehmen, d.h. ein Polynom ist eindeutig durch die Folge (a_{0}, a_{1}, …, a_{m}) der Koeffizienten bestimmt. Wir wollen im folgenden Polynome mit Koeffizienten aus einem beliebigen kommutativen Ring definieren und zeigen, daß sie wieder einen Ring bilden.

Es sei R ≠ 0 ein kommutativer Ring und

F (R) := { (a_{k})_{k∈IN_{0}} | ∀ k ∈ IN_{0} : a_{k} ∈ R }

die Menge aller abzählbaren Folgen (a_{0}, a_{1}, a_{2}, …) von Elementen aus R. Die Gleichheit zweier solcher Folgen ist “gliedweise“ erklärt, d.h.

(a_{k}) = (b_{k}) : ⟺ a_{k} = b_{k} für alle k ∈ IN_{0}

Da ein Polynom immer nur endlich viele Koeffizienten ≠ 0 besitzt, betrachten wir in F (R) die Teilmenge der “endlichen” Folgen:

F^{e}(R) := { (a_{k})_{k∈IN_{0}} | (a_{k})_{k∈IN_{0}} ∈ F (R), a_{k} = 0_{R} für fast alle k ∈ IN_{0} }

Für f = (a_{k})_{k∈IN_{0}} definieren wir den Träger I(f) durch

I(f) := { k | k ∈ IN_{0}, a_{k} ≠ 0_{R} } ⊆ IN_{0}

Dann gilt für f ∈ F (R) : f ∈ F^{e}(R) ⟺ I(f) ist endlich. Bezeichnet 0 = (0_{R}, 0_{R}, 0_{R}, …) die konstante Folge Null, so gilt für f ∈ F (R) : f = 0 ⟺ I(f) = ∅

Im folgenden wollen wir auf F^{e}(R) eine Ringstruktur definieren:

\underline{1.)} Für f ∈ F^{e}(R), f ≠ 0 existiert grad(f) := max(I(f)). Damit gilt

∀ k ∈ IN_{0} : k > grad(f) ⟹ a_{k} = 0_{R}

\underline{2.)} Definition einer Addition: Für f = (a_{k}) ∈ F^{e}(R) und g = (b_{k}) ∈ F^{e}(R) ist die Summe f + g (“gliedweise“) definiert durch

f + g := (a_{k} + b_{k})

Man muß sich nun überlegen, daß f + g wieder in F^{e}(R) liegt:

Klar ist f+g ∈ F (R) . Es genügt zu zeigen, daß I(f+g) ⊆ I(f)∪I(g) gilt; denn dann ist I(f+g) als Teilmenge einer endlichen Menge wieder endlich. Sei k ∈ IN_{0} und gelte k ∉ I(f)∪I(g). Dann folgt: k ∉ I(f) und k ∉ I(g) ⟹ a_{k} = 0_{R} und b_{k} = 0_{R} ⟹ a_{k}+b_{k} = 0_{R} ⟹ k ∉ I(f +g), d.h. I(f + g) ⊆ I(f) ∪ I(g).

Man erkennt nun leicht, daß (F^{e}(R), +) eine abelsche Gruppe ist. Dabei ist die konstante Folge 0 ∈ F^{e}(R) das Nullelement, und das Negative von f = (a_{k}) ∈ F^{e}(R) ist die Folge −f = (−a_{k}) ∈ F^{e}(R). Außerdem ist die Addition assoziativ und kommutativ.

\underline{3.)} Für f, g, f + g ∈ F^{e}(R) \ \{0\} gilt grad(f + g) ≤ max(grad(f), grad(g))

Setze m := grad(f) und n := grad(g). Für einen Index k > max(m, n) gilt dann k > m und k > n. Daraus folgt dann a_{k} = b_{k} = 0_{R} und damit a_{k} + b_{k} = 0_{R}, woraus sich die Beh. ergibt.

\underline{4.)} Definition einer Multiplikation: Für f = (a_{k}) ∈ F^{e}(R) und g = (b_{k}) ∈ F^{e}(R) ist das Cauchy–Produkt definiert durch

f · g := (c_{k})_{k∈IN_{0}} mit c_{k} = ∑ ; \begin{matrix}i, j ∈ IN_{0} \\ i + j = k \end{matrix} a_{i}b_{j} = ∑_{i=0}^{k} a_{i}b_{k−i}

Man muß sich wieder überlegen, daß f · g in F^{e}(R) liegt:

Klar ist f · g ∈ F (R) . Im Falle f = 0 oder g = 0 gilt auch f · g = 0 ∈ F^{e}(R). Seien deshalb f ≠ 0 und g ≠ 0. Setze m := grad(f) , n := grad(g) und r := m + n. Dann folgt c_{k} = 0_{R} für alle k > r. Aus i + j = k > r ergibt sich nämlich i > m oder j > n und daraus a_{i} = 0_{R} oder b_{j} = 0_{R}, also a_{i} · b_{j} = 0_{R}. Damit sind alle Summanden in der Summe für c_{k} gleich 0_{R}, c_{k} selbst ist also Null. Da I(f · g) endlich ist (|I(f · g)| ≤ r = m + n), ist f · g ∈ F^{e}(R) bewiesen.

Wir halten als Ergebnis fest:

\underline{5.)} Für f, g, f · g ∈ F^{e}(R) \ \{0\} gilt grad(f · g) ≤ grad(f) + grad(g)

Wir führen für einen beliebigen Ring R ≠ 0 das Kronecker–Symbol δ_{ik} ein:

δ_{ik} = \{ \begin{matrix}1_{R} & für i = k \\ 0_{R} & für i ≠ k \end{matrix}

Dann ist 1 = (1_{R}, 0_{R}, 0_{R}, …) = (δ_{0k})_{k∈IN_{0}} ∈ F^{e}(R) das Einselement; denn

1 · f = (c_{k}) mit c_{k} = ∑_{i+j=k} δ_{0i}a_{j} = 1_{R}a_{k} = a_{k} (∀ k ∈ IN_{0}), also 1f = f und analog f1 = f.

Die Multiplikation ist assoziativ und kommutativ, und es gilt das Distributive Gesetz, so daß F^{e}(R) insgesamt ein kommutativer Ring ist.

Abschließend untersuchen wir noch den Zusammenhang zwischen R und F^{e}(R). Dazu stellen wir fest, daß die Abbildung

α_{R} : R ⟶ F^{e}(R) , a ⟼ (a, 0_{R}, 0_{R}, 0_{R}, …)

ein injektiver Ringhomomorphismus ist. Die Verträglichkeit mit der Addition ist klar, und das Cauchy–Produkt von α_{R}(a) und α_{R}(b) ist gerade α_{R}(a · b). Außerdem ist α_{R}(1_{R}) = 1. Die Injektivität ergibt sich sofort.

Identifizieren wir a ∈ R mit α_{R}(a) ∈ F^{e}(R), so können wir R als Unterring von F^{e}(R) auffassen. Zusammenfassend haben wir bewiesen:

\underline{(13.20) SATZ:} Für jeden kommutativen Ring R ≠ 0 ist F^{e}(R) ein kommutativer Ring, der einen zu R isomorphen Unterring enthält.

Wir werden nun sehen, daß sich die Elemente aus F^{e}(R) in gewohnter Weise wie Polynome darstellen lassen. Dazu definieren wir:

6.) Das Element T := (0_{R}, 1_{R}, 0_{R}, 0_{R}, …) ∈ F^{e}(R) heißt Unbestimmte über R.

Wir bilden nun die Potenzen von T bzgl. der Cauchy–Multiplikation:

T^{0} = (1_{R}, 0_{R}, 0_{R}, 0_{R}, 0_{R}, …) = 1
T^{1} = (0_{R}, 1_{R}, 0_{R}, 0_{R}, 0_{R}, …) = T
T^{2} = (0_{R}, 0_{R}, 1_{R}, 0_{R}, 0_{R}, …)

Und allgemein für n ∈ IN_{0}

7.) T^{n} = (0_{R}, …, 0_{R}, 1_{R}, 0_{R}, 0_{R}, …) = (δ_{nk})_{k∈IN_{0}} , wobei 1_{R} an der (n + 1)–ten Stelle steht.

Für a ∈ R gilt aT^{k} = α(a)T^{k} = (a, 0_{R}, 0_{R}, 0_{R}, …) · (\underbrace{0_{R}, …, 0_{R}}_{k−mal}, 1_{R}, 0_{R}, 0_{R}, …) =

(\underbrace{0_{R}, …, 0_{R}}_{k−mal}, a , 0_{R}, 0_{R}, …)

Sei nun f = (a_{k}) ∈ F^{e}(R). Dann existiert ein m ∈ IN_{0} mit a_{k} = 0_{R} für alle k > m, d.h.

\begin{matrix}f = & (a_{0}, a_{1}, …, a_{m}, 0_{R}, 0_{R}, …) \\ = & (a_{0}, , 0_{R}, 0_{R}, …) + (0_{R}, a_{1}, 0_{R}, 0_{R}, …) + … + (0_{R}, …, 0_{R}, a_{m}, 0_{R}, 0_{R}, …) \\ = & a_{0}T^{0} + a_{1}T^{1} + a_{2}T^{2} + … + a_{m}T^{m} \end{matrix}

f läßt sich also in der gewohnten Form darstellen als ein Polynom

f = ∑_{k=0}^{m} a_{k}T^{k}

Die Koeffizienten in dieser Darstellung sind eindeutig bestimmt. Sei zunächst f ≠ 0 und gelte:

f = ∑_{i=0}^{m} a_{i}T^{i} = (a_{0}, a_{1}, …, a_{m}, 0_{R}, 0_{R}, …) mit a_{m} ≠ 0_{R}

f = ∑_{j=0}^{n} b_{j}T^{j} = (b_{0}, b_{1}, …, b_{n}, 0_{R}, 0_{R}, …) mit b_{n} ≠ 0_{R}

Dann ergibt sich m = grad(f) = n und a_{i} = b_{i} für alle i = 0, 1, 2, …, m.

Im Falle f = 0 folgt: 0 = f = ∑_{k=0}^{m} a_{k}T^{k} = (a_{0}, a_{1}, …, a_{m}, 0_{R}, 0_{R}, …) und damit a_{i} = 0_{R} für

alle i = 0, 1, ..., m.

Die Rechenoperationen schreiben sich jetzt in der Form:

f = ∑_{i=0}^{m} a_{i}T^{i} , g = ∑_{j=0}^{n} b_{j}T^{j}

8.) f + g = ∑_{k=0}^{max(m,n)}(a_{k} + b_{k}) T^{k} mit a_{k} = 0_{R}, falls k > m und b_{k} = 0_{R}, falls k > n.

9.) f · g = ∑_{k=0}^{m+n} ( ∑_{i+j=k} a_{i}b_{j}) T^{k}

Außerdem können wir eine Skalarmultiplikation mit Elementen aus dem Ring R definieren:

10.) af = ∑_{i=0}^{m}(aa_{i}) T^{i} (a ∈ R)

Zusammenfassend haben wir bewiesen:

\underline{(13.21) SATZ:} R sei ein kommutativer Ring ≠ 0. Dann läßt sich jedes Element f ∈ F^{e}(R) \ {0} in der Form

f = ∑_{k=0}^{m} a_{k}T^{k}

mit eindeutig bestimmten Koeffizienten a_{k} ∈ R (k = 0, 1, … m) und a_{m} ≠ 0_{R} darstellen. Dabei ist m = grad(f).

\underline{(13.22) Bezeichnungen:} a) Die Elemente aus F^{e}(R) heißen Polynome in einer Unbestimmten T über dem Ring R.

b) Der Ring F^{e}(R) heißt Polynomring in einer Unbestimmten T über dem Ring R und wird mit R[T] bezeichnet.

c) Ein Polynom, dessen sämtliche Koeffizienten 0_{R} sind, heißt das Nullpolynom. Es hat keinen Grad.

d) Ist f ≠ 0 ein Polynom vom Grade m, so heißt der Koeffizient a_{m} von T^{m} der Leitkoeffizient von f. Ein Polynom, dessen Leitkoeffizient 1_{R} ist, heißt normiert.

\underline{Bemerkung:} Die Bildung des Polynomringes läßt sich iterieren: Ist R ein kommutativer Ring, so ist auch S := R[T_{1}] ein kommutativer Ring mit 1_{S} ≠ 0_{S} (Hier ist die Unbestimmte mit T_{1} bezeichnet). Über diesem Ring S können wir nun wieder den Polynomring in einer Unbestimmten T_{2} bilden:

S[T_{2}] = (R[T_{1}])[T_{2}] =: R[T_{1}, T_{2}]

R[T_{1}, T_{2}] heißt Polynomring in zwei Unbestimmten über dem Ring R. Die Elemente von S[T_{2}] sind Polynome in T_{2} mit Koeffizienten aus dem Ring S = R[T_{1}]. Allgemein ist

R[T_{1}, T_{2}, …, T_{n−1}, T_{n}] := (R[T_{1}, T_{2}, …, T_{n−1}])[T_{n}]

der Polynomring in den n Unbestimmten T_{1}, T_{2}, …, T_{n−1}, T_{n}.

\underline{(13.23) LEMMA:} R sei ein kommutativer Ring mit 1_{R} ≠ 0_{R}. Dann gilt für Polynome f, g ∈ R[T] \ {0_{R}}:

a) grad(f + g) ≤ max(grad(f), grad(g)), falls f + g ≠ 0.

b) grad(f · g) ≤ grad(f) + grad(g), falls f · g ≠ 0

c) Ist R ein IB, so folgt grad(f · g) = grad(f) + grad(g)

d) R IB ⟺ R[T] IB

e) R IB ⟹ (R[T])^{⋆} = R^{⋆}.

\underline{Bew:} a) folgt aus 3.) b) folgt aus 5.)

c) Seien f = ∑_{i=0}^{m} a_{i}T^{i} , g = ∑_{k=0}^{n} b_{k}T^{k} mit a_{m} ≠ 0, b_{n} ≠ 0, also grad(f) = m, grad(g) = n. Nach 5.) ist dann

f · g = a_{0}b_{0} + … + (a_{m}b_{n})T^{m+n}

Da R nach Voraussetzung ein IB ist, folgt a_{m}b_{n} ≠ 0. Damit ist grad(f · g) = m + n = grad(f) + grad(g).

d) “⟹“ Seien f, g ∈ R[T] \ {0}. Dann ist nach c) grad(f · g) = grad(f) + grad(g) ≥ 0, also f · g ≠ 0. Damit ist R[T] ein IB. Die Umkehrung “⟸” ist klar, da R als Unterring eines IB’s selbst wieder ein IB ist.

e) R^{⋆} ⊆ (R[T])^{⋆} ist klar, da R ein Unterring von R[T] ist. Sei umgekehrt f ∈ (R[T])^{⋆}. Dann gibt es ein g ∈ R[T] mit f · g = 1. Mit c) folgt 0 = grad(1) = grad(f · g) = grad(f) + grad(g), also grad(f) = grad(g) = 0, d.h. f, g ∈ R und f ∈ R^{⋆}. □

\underline{(13.24) SATZ:} Division mit Rest in R[T] R sei ein kommutativer Ring mit 1_{R} ≠ 0_{R} und g ∈ R[T] ein Polynom, dessen \underline{Leitkoeffizient} eine \underline{Einheit} in R ist. Dann gibt es zu jedem Polynom f ∈ R[T] eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ R[T] , wobei gilt:

f = qg + r mit r = 0 oder grad(r) < grad(g)

\underline{Bew:} Existenz: Im Falle \underline{f = 0} setze man q = r = 0. Für den Fall \underline{f ≠ 0} seien

f = ∑_{i=0}^{m} a_{i}T^{i} (a_{m} ≠ 0) , g = ∑_{k=0}^{n} b_{k}T^{k} (b_{n} ∈ R^{⋆})

Wir führen nun Induktion nach \underline{m = grad(f)}: \underline{m = 0} f = a_{0} ≠ 0

1. Fall grad(g) = 0 ⟹ f = (\underbrace{a_{0}b_{0}^{−1}}_{=q}) \underbrace{b_{0}}_{=g} + \underbrace{0}_{=r}

2. Fall grad(g) > 0 ⟹ f = 0 · g + f mit grad(f) = 0 < grad(g)

(IV) Sei m > 0 beliebig und die Behauptung richtig für alle Polynome vom Grade < m

Sei f ∈ R[T] mit grad(f) = m. Zu zeigen: f läßt sich durch g mit Rest teilen.

1. Fall m = grad(f) < grad(g) = n: f = 0g + f

2. Fall m = grad(f) ≥ grad(g) = n:

Sei

f_{1} := (a_{m}b_{n}^{−1})T^{m−n}g ∈ R[T]

Der Leitkoeffizient von f_{1} ist (a_{m}b_{n}^{−1})b_{n} = a_{m} ≠ 0, daher grad(f_{1}) = m. Folglich f − f_{1} = 0 oder f − f_{1} hat einen Grad < m. Im ersten Fall sind wir fertig, im zweiten Fall gilt nach (IV)

f − f_{1} = g · q_{1} + r (q_{1}, r ∈ R[T], r = 0 oder grad(r) < grad(g))

f = f_{1} + gq_{1} + r = (\underbrace{a_{m}b_{n}^{−1}T^{m−n} + q_{1}}_{=:q∈R[T]}) · g + r

Eindeutigkeit: Es gelte außerdem f = g · q̃ + r̃ mit r̃ = 0 oder grad(r̃) < grad(g). Dann folgt

(q − q̃)g = r̃ − r

Annahme: q − q̃ ≠ 0. Da der Leitkoeffizient von g eine Einheit, und damit kein Nullteiler ist, folgt (q − q̃)g ≠ 0 und

grad((q − q̃)g) = grad(q − q̃) + grad(g) ≥ grad(g)

Also r̃ − r ≠ 0 und grad(r̃ − r) ≥ grad(g). Ist eines der Polynome r oder r̃ das Nullpolynom (etwa r = 0), so folgt mit grad(r̃ − r) = grad(r̃) < grad(g) ein Widerspruch, sind dagegen beide Polynome ≠ 0, so folgt mit grad(r̃ − r) ≤ max(grad(r̃), grad(r)) < grad(g) ein Widerspruch. Beide Polynome können wegen r̃ − r ≠ 0 nicht 0 sein. Folglich q − q̃ = 0 ⟹ q̃ = q und damit r̃ − r = 0, also r̃ = r. Damit ist alles bewiesen. □