§12. Symmetriegruppen

Im folgenden betrachten wir die anschauliche Ebene E , die wir als Vektorraum mit dem IR^{2} identifizieren. Damit ist E ein zwei–dimensionaler euklidischer Vektorraum mit dem kanonischen Skalarprodukt ⟨ , ⟩ und der daraus resultierenden Metrik (Abstandsfunktion) d : E × E ⟶ IR .

\underline{(12.1) DEF:} Eine Abbildung f : E ⟶ E heißt eine Isometrie (oder Bewegung oder Kongruenzabbildung), wenn f die Abstände von Punkten erhält, d.h.

d(f(P), f(Q)) = d(P, Q) (∀ P, Q ∈ E)

Mit I = Iso(E) werde die Menge aller Isometrien von E bezeichnet.

Man kann ist zeigen, daß eine Isometrie eine affine Abbildung ist, genauer:

\underline{(12.3) BEM:} a) Ist f : E ⟶ E eine Isometrie, so gibt es eine orthogonale Abbildung g : E ⟶ E (eine solche Abbildung hat eine orthogonale Darstellungsmatrix bzgl. einer ONB) und einen Punkt Q ∈ E, so daß gilt

f(P) = g(P) + Q (∀ P ∈ E)

b) f ist genau dann linear (und damit orthogonal), wenn f(0) = 0 gilt (d.h. Q = 0).

c) Jede Isometrie ist bijektiv.

\underline{(12.4) SATZ:} Die Menge I aller Isometrien ist eine Gruppe bzgl. der Hintereinanderausführung (genauer: I ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe (S_{E}, ∘) von E .

\underline{(12.5) BEM:} a) P heißt Fixpunkt einer Isometrie f , wenn f(P) = P gilt.

b) Sei P ∈ E . Dann ist die Menge Iso(E, P) aller Isometrien mit P als Fixpunkt eine Untergruppe von (I, ∘) .

b) Iso(E, 0) ist die Gruppe aller orthogonalen Abbildungen E ⟶ E . Die Darstellungsmatrizen solcher Abbildungen wurden in den Übungsafgaben 16 und 20 genauer untersucht.

c) Iso(E, 0) wird aus allen Drehungen um den Nullpunkt und allen Spiegelungen, deren Spiegelachsen durch 0 gehen, gebildet.

d) Die Menge D aller Drehungen um 0 ist eine Untergruppe von Iso(E, 0) .

e) Die Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen aus Iso(E, 0) ist eine Drehung D.

f) Die Hintereinanderausführung einer Spiegelung und einer Drehung aus Iso(E, 0) ist eine Spiegelung aus Iso(E, 0) .

\underline{(12.6) BEM:} a) Jede Isometrie von E ist eine Hintereinanderausführung von höchstens 3 Spiegelungen.

b) Die Menge der Spiegelungen aus I ist ein EZS der Gruppe (I, ∘) .

c) Folgende Isometrien können auftreten:

• Spiegelungen an einer Achse

• Translationen (Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen an parallelen Spiegelachsen)

• Drehungen (Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen an sich schneidenden Spiegelachsen)

• Schubspiegelungen (Spiegelung verknüpft mit einer Translation in Richtung der Spiegelachse)

\underline{(12.7) DEF:} Sei F ⊆ E eine nichtleere Teilmenge.

a) Eine Isometrie s : E ⟶ E heißt eine Symmetrie von F, wenn s(F) = F gilt.

b) Symm(F) bezeichne die Menge aller Symmetrien von F .

Achtung! s(F) = F bedeutet die Gleichheit zweier Mengen, nicht aber, daß die Punkte aus F festgelassen werden.

\underline{(12.8) SATZ:} Sei ∅ ≠ F ⊆ E . Dann ist Symm(F) eine Untergruppe von (Iso(E), ∘) .

\underline{(12.9) DEF:} Sei ∅ ≠ F ⊆ E . Dann heißt (Symm(E), ∘) die Symmetriegruppe von F .

Symm(F) ist ein “Maß ” für die Symmetrie der ebenen Figur F .

\underline{(12.10) BEISPIELE:} a) Die Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks enthält genau 3 Drehungen und 3 Spiegelungen und ist isomorph zu S_{3} oder Δ_{3} .

b) Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Sechsecks enthält genau 6 Drehungen und 6 Spiegelungen und ist isomorph zu Δ_{6} .

c) Die Symmetriegruppe eines Kreises K enthält unendlich viele Drehungen (um den Kreismittelpunkt) und unendlich viele Spiegelungen (an Achsen durch den Kreismittelpunkt), aber keine Translationen oder Schubspiegelungen: | Symm(K) | = ∞.

d) Die Symmetriegruppe eines Bandornamentes:

Eine Figur ∅ ≠ B ⊆ E heißt ein Bandornament (oder Streifenornament), wenn es eine Translation τ (≠ id_{E}) als Symmetrie gibt, so daß ⟨τ⟩ = { τ^{n} | n ∈ ZZ } die Menge aller Translationen ist, die Symmetrien von B sind. τ wird dann auch eine Periode des Bandornamentes genannt. Daneben kann es auch noch andere Symmetrien geben. e) Die Symmetriegruppe eines Flächenornamentes.:

Eine Figur ∅ ≠ F ⊆ E heißt ein Flächenornament, wenn es zwei Translationen σ, τ ∈ Symm(F) mit linear unabhängigen Richtungen gibt, so daß sich jede Translation ρ ∈ Symm(F) in der Form

ρ = σ^{m} ∘ τ^{n} (mit m, n ∈ ZZ)

darstellen läßt. Wählt man Translationen σ, τ mit linear unabhängigen Richtungen, so daß die Länge der Verschiebungsvektoren minimal ist, so heißt ein Parallelogramm mit den Eckpunkten

P, σ(P), τ(P), (σ ∘ τ)(P) (P ∈ E)

ein Elementarbereich des Fächenornamentes zu den Perioden σ und τ . Die Elementarbereiche eines Fächenornamentes sind zwar nicht eindeutig bestimmt, haben jedoch alle denselben Flächeninhalt.

\underline{(12.11) SATZ:} Sei n ≥ 2 und E_{n} das regelmäßige n–Eck. Für die Symmetriegruppe D_{n} von E_{n} gilt:

a) (D_{n}, ∘) ist eine Gruppe der Ordnung 2n.

b) (D_{n}, ∘) ist für n ≥ 3 nichtabelsch .

c) Es gibt Elemente σ, δ ∈ D_{n} mit folgenden Eigenschaften:

i) ord(δ) = n , ord(σ) = 2

ii) δ σ = σ δ^{−1}

iii) D_{n} = ⟨ δ, σ ⟩ = { id_{E}, δ, δ^{2}, …, δ^{n−1}, σ, δσ, δ^{2}σ, …, δ^{n−1}σ }

D_{n} heißt Diedergruppe .

\underline{(12.12) KOROLLAR:} Für n ≥ 3 gilt D_{n} ≅ Δ_{n}.