§11. Gruppen kleiner Ordnung

Problem: Gegeben sei eine natürliche Zahl n. Bestimme (bis auf Isomorphie) alle Gruppen der Ordnung n.

Für abelsche Gruppen ist dieses Problem durch den Hauptsatz vollständig gelöst. Wir kennen einige Ergebnisse: Ist p eine Primzahl und G eine Gruppe, so gilt

|G| Ergebnis
p  G ≅ ZZ_{p} (zyklisch)

p^{2} G ist abelsch mit G ≅ ZZ_{p^{2}} (zyklisch) oder G ≅ ZZ_{p} ×ZZ_{p} (s. Aufgabe 51)

4 = 2^{2} G ≅ ZZ_{4} (zyklisch) oder G ≅ ZZ_{2} × ZZ_{2} (Kleinsche Vierergruppe).

All diese Gruppen sind abelsch. Außerdem gibt es zu jedem n ∈ IN eine abelsche Gruppe der Ordnung n, nämlich die zyklische Gruppe ZZ_{n}. Wie oben gesehen, muß es dagegen zu einer ungeraden Zahl n keine nichtabelsche Gruppe der Ordnung n geben. In den Aufgaben 16 und 20 wurde für eine natürliche Zahl n ≥ 3 eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 2n konstruiert. Für α ∈ IR sei

D(α) := ( \begin{matrix}cos(α) & − sin(α) \\ sin(α) & cos(α) \end{matrix} ) ∈ O(2) (Drehmatrix)

S(α) := ( \begin{matrix}cos(α) & sin(α) \\ sin(α) & − cos(α) \end{matrix} ) ∈ O(2) (Spiegelungsmatrix)

\underline{(11.1) LEMMA:} Sei n ≥ 3 . Setze W_{n} := \{ k · \frac{2π}{n} | k = 0, 1, …, n − 1 \} und

Δ_{n} := { D(α) | α ∈ W_{n} } ∪ { S(α) | α ∈ W_{n} } .

Ferner seien

D := D (\frac{2π}{n} ) und S := S (\frac{2π}{n} ) .

Dann gilt:

a) Δ_{n} ist eine Untergruppe von (O(2), ·)

b) ord(D) = n , ord(S) = 2 c) D · S = S · D^{−1} = S · D^{n−1}

d) Δ_{n} = ⟨ D, S ⟩ = { D^{j} · S^{k} | 0 ≤ j < n , 0 ≤ k < 2 }

e) Δ_{n} ist eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 2n.

Zu jeder geraden ganzen Zahl m ≥ 6 gibt es also eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung m.

\underline{(11.2) SATZ:} Sei n ≥ 3 . In der Gruppe G gebe es Elemente a, b ∈ G mit

1) ord(a) = n , ord(b) = 2

2) ab = ba^{−1} = ba^{n−1}

3) G = ⟨ a, b ⟩. Dann folgt: G ≅ Δ_{n}.

\underline{(11.3) SATZ:} Sei p ≥ 3 eine Primzahl. Ist dann G eine Gruppe der Ordnung 2p, so folgt

G ≅ ZZ_{2p} oder G ≅ Δ_{p} .

\underline{(11.4) KOROLLAR:} Ist G eine Gruppe der Ordnung 6 , so gilt entweder G ≅ ZZ_{6} (falls G abelsch ist) oder G ≅ Δ_{3} (falls G nichtabelsch ist).

\underline{(11.5) LEMMA:} Für eine nichtabelsche Gruppe G der Ordnung 8 gilt

G ≅ Δ_{4} oder G ≅ Q (Quaternionengruppe) .

\underline{(11.6) SATZ:} Sei G eine Gruppe mit |G| = pq, wobei p und q Primzahlen mit p > q sind. Dann gilt:

a) Im Falle q |̸ p − 1 ist G zyklisch.

b) Im Falle q|p − 1 gibt es bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen, von denen eine abelsch (und zyklisch) und die andere nichtabelsch ist.

Zusammenfassend erhalten wir die folgende Übersicht: Seien p, q ∈ IP und G sei eine Gruppe .

|G|  G ≅
p  ZZ_{p}
p^{2}  ZZ_{p^{2}} oder ZZ_{p} × ZZ_{p}
2p (p ≥ 3)  ZZ_{2p} oder Δ_{p}
pq (p > q)  q |̸p − 1 : ZZ_{pq}

q|p − 1 : ZZ_{pq} oder nichtabelsch

8  Q oder Δ_{4} (falls G nichtabelsch)

\underline{(11.7) SATZ:} Sei n ≥ 4 eine gerade Zahl. Dann gibt es eine Gruppe Q_{n} mit folgenden Eigenschaften:

a) Q_{n} wird von zwei Elementen a und b erzeugt, für die a^{n} = 1 , b^{2} = a^{n/2} , bab^{−1} = a^{−1} gilt.

b) Q_{n} ist eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 2n.

c) Im Falle n = 4 ist Q_{4} ≅ Q (Quaternionengruppe) . Q_{n} heißt dizyklische Gruppe .