§10. Die Sylow–Sätze

Nachdem wir in (9.3) gesehen haben, daß die Umkehrung des Satzes von Lagrange für endliche abelsche Gruppen richtig ist, wollen wir jetzt diese Fragestellung für endliche nichtabelsche Gruppen untersuchen: Zu welchen Teilern der Gruppenordnung gibt es auch eine Untergruppe mit diesem Teiler als Ordnung? Antwort darauf geben die sog. Sylow–Sätze , die die Existenz gewisser primärer Untergruppen sichern.

L. Sylow , 1832–1918 , norwegischer Mathematiker

Literatur: Fischer/Sacher: “Einführung in die Algebra”

(10.1) SATZ:

( 1. Sylow–Satz , 1872 )

G sei eine endliche Gruppe der Ordnung n, und es gelte p^{k} | n für ein p ∈ IP und k ∈ IN_{0} . Dann enthält G eine Untergruppe U der Ordnung p^{k}.

\underline{Bew:} Der Beweis wird durch Induktion nach der Gruppenordnung n geführt.

U ist dann eine p–primäre Gruppe.

(10.2) FOLGERUNG: (Lemma von Cauchy)

G sei eine endliche Gruppe und p ein Primteiler von |G|. Dann enthält G ein Element der Ordnung p.

\underline{(10.3) DEF:} G sei eine endliche Gruppe der Ordnung n. Ferner sei p eine Primzahl. Für m ∈ IN_{0} gelte p^{m}|n und p^{m+1} |̸ n. Dann heißt eine Untergruppe von G der Ordnung p^{m} eine p–Sylowuntergruppe von G.

\underline{(10.4) B & B:} a) Eine p–Sylowuntergruppe von G ist eine p–primäre Untergruppe maximaler Ordnung von G.

b) Nach (10.1) enthält G zu jeder Primzahl p eine p–Sylowuntergruppe, die im Falle p |̸ |G| trivial ist.

c) Die Umkehrung des Satzes von Lagrange gilt also im nichtabelschen Fall zumindest für solche Teiler von |G|, die Primzahlpotenzen sind.

d) In S_{3} mit |S_{3}| = 6 = 2 · 3 gibt es drei 2–Sylowuntergruppen der Ordnung 2 und genau eine 3–Sylowuntergruppe der Ordnung 3 , nämlich A_{3} ⊴ S_{3} .

e) Es ist |A_{4}| = 12 = 2^{2} · 3 . In A_{4} gibt es genau eine 2–Sylowuntergruppe der Ordnung 4 , nämlich V ⊴ A_{4}, und vier 3–Sylowuntergruppen der Ordnung 3 . Es gibt jedoch keine Untergruppe in A_{4} der Ordnung 6 = 2 · 3 .

f) In S_{4} mit |S_{4}| = 24 = 2^{3} · 3 gibt es drei 2–Sylowuntergruppen der Ordnung 8 und vier 3–Sylowuntergruppen der Ordnung 3 . Daneben gibt es auch Untergruppen der Ordnung 2^{1} und 2^{2} , die aber keine Sylowuntergruppen sind.

\underline{(10.5) DEF:} G sei eine Gruppe. Zwei Untergruppen U und V heißen konjugiert, wenn es ein a ∈ G gibt mit τ_{a}(U) = V .

\underline{BEM:} τ_{a} : G ⟶ G , x ⟼ axa^{−1} ist der Gruppenautomorphismus aus Aufgabe 46 . τ_{a}(U) = V ist also gleichbedeutend mit aUa^{−1} = V . Konjugierte Untergruppen sind insbesondere isomorph.

(10.6) SATZ:

( 2. Sylow–Satz )

G sei eine endliche Gruppe und p ∈ IP . Dann gilt:

a) Jede Untergruppe von G der Ordnung p^{k} (k ∈ IN_{0}) liegt in einer p–Sylowuntergruppe von G.

b) Je zwei p–Sylowuntergruppen von G sind zueinander konjugiert.

\underline{(10.7) BEM:} a) Eine p–Sylowuntergruppe U ≤ G ist genau dann ein Normalteiler von G, wenn U die einzige p–Sylowuntergruppe von G ist. Für N ⊴ G gilt nämlich τ_{a}(N) = aNa^{−1} = N ∀ a ∈ G.

b) In einer endlichen abelschen Gruppe gibt es zu jeder Primzahl p genau eine p–Sylowuntergruppe.

(10.8) SATZ:

( 3. Sylow–Satz )

G sei eine endliche Gruppe und p eine Primzahl. Es bezeichne s(p) die Anzahl der p–Sylowuntergruppen von G. Dann gilt:

a) s(p) ist ein Teiler von |G|

b) s(p) ≡ 1 (mod p) .

\underline{(10.9) BEISPIELE:} a) |S_{3}| = 6 = 2 · 3 (s.(10.4d) ) s(p) ∈ {1, 2, 3, 6} s(2) ≡ 1 (mod 2) ⟹ s(2) ungerade ⟹ s(2) ∈ \{1, \underline{\underline{3}}\} s(3) ≡ 1 (mod 3) ⟹ s(3) = 1 . Da es nur eine 3–Sylowuntergruppe gibt, ist diese nach (10.7a) Normalteiler.

b) |A_{4}| = 12 = 2^{2} · 3 (vgl. (10.4e) ) s(p) ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 12} s(2) ≡ 1 (mod 2) ⟹ s(2) ungerade ⟹ s(2) ∈ \{\underline{\underline{1}}, 3\} s(3) ≡ 1 (mod 3) ⟹ s(3) ∈ \{1, \underline{\underline{4}}\}

c) |S_{4}| = 24 = 2^{3} · 3 (vgl. (10.4f) ) s(p) ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} s(2) ≡ 1 (mod 2) ⟹ s(2) ungerade ⟹ s(2) ∈ \{1, \underline{\underline{3}}\} s(3) ≡ 1 (mod 3) ⟹ s(3) ∈ \{1, \underline{\underline{4}}\} .

\underline{(10.10) LEMMA:} Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch und damit isomorph zu ZZ_{15} .