Chr.Nelius , Grundzüge der Algebra (WS 2005/06)

Anmerkungen zum Untergruppenverband von (S_{4}, ∘)

Die Hochzahlen in Klammern geben jeweils die Anzahl des jeweiligen Untergruppentyps an. Die rot eingezeichneten Untergruppen bilden den Untergruppenverband von (A_{4}, ∘).

Zu den einzelnen Untergruppen: Das neutrale Element ε erzeugt die einzige Untergruppe der Ordnung 1 . 6 Transpositionen t_{j} erzeugen zykl. Untergruppen ⟨t_{j}⟩ der Ordnung 2 . 3 Produkte disjunkter Transpositionen τ_{i} erzeugen zyklische Untergruppen ⟨τ_{i}⟩ der Ordnung 2 . 4 Dreierzyklen d_{k} erzeugen zyklische Untergruppen ⟨d_{k}⟩ der Ordnung 3 . V = {ε, τ_{1}, τ_{2}, τ_{3}} ist eine Kleinsche Vierergruppe der Ordnung 4 . 3 Viererzyklen v_{i} erzeugen zyklische Untergruppen ⟨v_{i}⟩ der Ordnung 4 . Jeweils zwei Transpositionen erzeugen eine Kleinsche Vierergruppe K_{i}, die die Ordnung 4 hat . Es gibt 4 Untergruppen Ŝ_{3} der Ordnung 6 , die vom Typ S_{3} sind. Es gibt 3 Untergruppen D̂_{4} der Ordnung 8, die vom Typ Δ_{4} sind. A_{4} ist die einzige Untergruppe der Ordnung 12 . S_{4} ist die einzige Untergruppe der Ordnung 24 .

Fazit: (S_{4}, ∘) hat insgesamt 30 Untergruppen. 10 davon sind auch Untergruppen von A_{4} .