Chr.Nelius : Grundzüge der Algebra (WS 2005/06)

Die Gruppe (S_{3}, ∘)

Diese Gruppe wurde in den Übungen behandelt. Es ist

S_{3} = {π_{0}, π_{1}, π_{2}, π_{3}, π_{4}, π_{5}}

die Menge aller Permutationen

π_{0} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} ) , π_{1} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} ) , π_{2} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} ) ,

π_{3} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix} ) , π_{4} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) , π_{5} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} )

der drei Zahlen 1,2,3 . (S_{3}, ∘) ist eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 3!= 6 .

Gruppentafel von (S_{3}, ∘):

\begin{matrix}∘ & π_{0} & π_{1} & π_{2} & π_{3} & π_{4} & π_{5} \\ π_{0} & π_{0} & π_{1} & π_{2} & π_{3} & π_{4} & π_{5} \\ π_{1} & π_{1} & π_{2} & π_{0} & π_{5} & π_{3} & π_{4} \\ π_{2} & π_{2} & π_{0} & π_{1} & π_{4} & π_{5} & π_{3} \\ π_{3} & π_{3} & π_{4} & π_{5} & π_{0} & π_{1} & π_{2} \\ π_{4} & π_{4} & π_{5} & π_{3} & π_{2} & π_{0} & π_{1} \\ π_{5} & π_{5} & π_{3} & π_{4} & π_{1} & π_{2} & π_{0} \end{matrix}

Untergruppen von (S_{3}, ∘): Die folgende Liste enthält alle Untergruppen von (S_{3}, ∘): ⟨π_{0}⟩ = {π_{0}} ⟨π_{1}⟩ = {π_{0}, π_{1}, π_{2}} = ⟨π_{2}⟩ ⟨π_{3}⟩ = {π_{0}, π_{3}} ⟨π_{4}⟩ = {π_{0}, π_{4}} ⟨π_{5}⟩ = {π_{0}, π_{5}} S_{3} Fazit: (S_{3}, ∘) ist eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 6. Zu jedem positiven Teiler t von 6 gibt es (mindestens) eine Untergruppe von (S_{3}, ∘) , die die Ordnung t hat. Es gibt 1 Untergruppe der Ordnung 3 und 3 Untergruppen der Ordnung 2 . (S_{3}, ∘) ist nicht zyklisch, jedoch ist jede Untergruppe ≠ S_{3} zyklisch.