Chr.Nelius : Grundzüge der Algebra (WS 2005/06)

Die Gruppe (Δ_{3}, ·)

Diese Gruppe wurde in Aufgabe 20 behandelt. Es ist

Δ_{3} = {M_{0}, M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}, M_{5}}

die Menge aller (2 × 2)–Matrizen

M_{0} = D(0) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , M_{1} = D(\frac{2π}{3}) , M_{2} = D(\frac{4π}{3}) , M_{3} = S(\frac{4π}{3}) , M_{4} = S(\frac{2π}{3}) , M_{5} = S(0)

(Δ_{3}, ·) ist eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 6 , insbesondere eine Untergruppe von (O(2), ·) .

Gruppentafel von (Δ_{3}, ·):

\begin{matrix}· & M_{0} & M_{1} & M_{2} & M_{3} & M_{4} & M_{5} \\ M_{0} & M_{0} & M_{1} & M_{2} & M_{3} & M_{4} & M_{5} \\ M_{1} & M_{1} & M_{2} & M_{0} & M_{5} & M_{3} & M_{4} \\ M_{2} & M_{2} & M_{0} & M_{1} & M_{4} & M_{5} & M_{3} \\ M_{3} & M_{3} & M_{4} & M_{5} & M_{0} & M_{1} & M_{2} \\ M_{4} & M_{4} & M_{5} & M_{3} & M_{2} & M_{0} & M_{1} \\ M_{5} & M_{5} & M_{3} & M_{4} & M_{1} & M_{2} & M_{0} \end{matrix}

Untergruppen von (Δ_{3}, ·): Die folgende Liste enthält alle Untergruppen von (Δ_{3}, ·): ⟨M_{0}⟩ = {M_{0}} ⟨M_{1}⟩ = {M_{0}, M_{1}, M_{2}} = ⟨M_{2}⟩ ⟨M_{3}⟩ = {M_{0}, M_{3}} ⟨M_{4}⟩ = {M_{0}, M_{4}} ⟨M_{5}⟩ = {M_{0}, M_{5}} Δ_{3} Fazit: (Δ_{3}, ·) ist eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 6. Zu jedem positiven Teiler t von 6 gibt es (mindestens) eine Untergruppe von (Δ_{3}, ·) , die die Ordnung t hat. Es gibt 1 Untergruppe der Ordnung 3 und 3 Untergruppen der Ordnung 2 . (Δ_{3}, ·) ist nicht zyklisch, jedoch ist jede Untergruppe ≠ Δ_{3} zyklisch. Frage: Wo haben wir schon etwas Ähnliches gesehen ?