Chr.Nelius : Grundzüge der Algebra (WS 2005/06)

Die Gruppe (C_{6}, ∘)

Diese Gruppe wird in Aufgabe 8 behandelt. Es ist

C_{6} = {d_{0}, d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}, d_{5}}

die Menge aller Drehungen der Ebene um den Nullpunkt, deren Drehwinkel ein ganzzahliges Vielfaches von \frac{π}{3} ist (d_{k} hat den Drehwinkel k · \frac{π}{3} ).

(C_{6}, ∘) ist eine abelsche Gruppe der Ordnung 6 .

Gruppentafel von (C_{6}, ∘):

\begin{matrix}∘ & d_{0} & d_{1} & d_{2} & d_{3} & d_{4} & d_{5} \\ d_{0} & d_{0} & d_{1} & d_{2} & d_{3} & d_{4} & d_{5} \\ d_{1} & d_{1} & d_{2} & d_{3} & d_{4} & d_{5} & d_{0} \\ d_{2} & d_{2} & d_{3} & d_{4} & d_{5} & d_{0} & d_{1} \\ d_{3} & d_{3} & d_{4} & d_{5} & d_{0} & d_{1} & d_{2} \\ d_{4} & d_{4} & d_{5} & d_{0} & d_{1} & d_{2} & d_{3} \\ d_{5} & d_{5} & d_{0} & d_{1} & d_{2} & d_{3} & d_{4} \end{matrix}

Untergruppen von (C_{6}, ∘): Die folgende Liste enthält alle Untergruppen von (C_{6}, ∘): ⟨d_{0}⟩ = {d_{0}} ⟨d_{1}⟩ = C_{6} = ⟨d_{5}⟩ (⟹ (C_{6}, ∘) ist zyklisch) ⟨d_{2}⟩ = {d_{0}, d_{2}, d_{4}} = ⟨d_{4}⟩ ⟨d_{3}⟩ = {d_{0}, d_{3}}

Fazit: (C_{6}, ∘) ist eine zyklische Gruppe der Ordnung 6, deren erzeugende Elemente d_{1} oder d_{5} sind. Zu jedem positiven Teiler t von 6 gibt es genau eine Untergruppe von (C_{6}, ∘) , die die Ordnung t hat. Außerdem ist jede Untergruppe von (C_{6}, ∘) wieder zyklisch.