9. Übungsblatt

GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06) Abgabe: Do. 22.12.2005, bis 13.00 Uhr Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

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34. Aufgabe: Die Abbildung f : IR ⟶ C^{⋆} sei definiert durch f(x) := e^{ix} (∀ x ∈ IR).

a) Beweise, daß f : (IR, +) ⟶ (C^{⋆}, ·) ein Gruppenhomomorphismus ist.

b) Bestimme Kern(f) und Bild(f). (Hinweis: Ergebnisse aus der Analysis dürfen benutzt werden) (3)

35. Aufgabe: (G, ⋆) sei eine Gruppe. Die Abbildung f : G ⟶ G sei definiert durch f(a) := \overline{a} (∀ a ∈ G). Beweise:

a) f ist bijektiv

b) f : (G, ⋆) ⟶ (G, ⋆) ist genau dann ein Gruppenhomomorphismus, wenn (G, ⋆) abelsch ist. (3)

36. Aufgabe: f : (G, ⋆) ⟶ (H, △) sei ein Gruppenhomorphismus . Beweise:

a) f(a^{(n)}) = [f(a)]^{(n)} für alle a ∈ G und n ∈ ZZ . (Hinweis: Der Fall n ≥ 0 ist durch vollständige Induktion zu beweisen!)

b) Für alle a ∈ G gilt f(⟨a⟩) = ⟨f(a)⟩.

c) f surjektiv und (G, ⋆) zyklisch ⟹ (H, △) zyklisch. (5)

37. Aufgabe: Sei (G, ⋆) eine Gruppe der Ordnung ≥ 2 , deren einzige Untergruppen {e} und G sind. Beweise:

a) (G, ⋆) ist zyklisch b) (G, ⋆) ist eine endliche Gruppe

c) Die Ordnung von (G, ⋆) ist eine Primzahl. (5)

*38. Aufgabe: (G, ⋆) sei eine beliebige Gruppe, M sei eine Menge und f : G ⟶ M eine bijektive Abbildung. Beweise: Auf M läßt sich genau eine Verknüpfung ♯ definieren, so daß gilt:

i) (M, ♯) ist eine Gruppe ii) f : (G, ⋆) ⟶ (M, ♯) ist ein Gruppenisomorphismus. (3*)