8. Übungsblatt

GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06) Abgabe: Do. 15.12.2005, bis 13.00 Uhr Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr.

Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

30. Aufgabe: a) Beweise, daß eine Permutation π ∈ S_{n}(n ≥ 2) genau dann gerade ist, wenn sich π als Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen darstellen läßt .

b) Finde eine Formel für die Anzahl aller r–Zyklen in S_{n} für 1 < r ≤ n.

c) Bestimme die größtmögliche Ordnung, die ein Element in (S_{12}, ∘) haben kann. Gib ein solches Element an.

d) Beweise, daß die Gruppe (A_{n}, ∘) für n ≥ 4 nicht abelsch ist.

e) Sei V := {(1) , (1 2)(3 4) , (1 3)(2 4) , (1 4)(2 3)} ⊆ S_{4} . Beweise, daß V eine Untergruppe von (A_{4}, ∘) ist. (5)

31. Aufgabe: Sei V eine Untergruppe von (S_{n}, ∘) (n ≥ 2) , und sei G die Menge der geraden Permutationen in V . Beweise:

a) G ist eine Untergruppe von (V, ∘) .

b) Es gilt entweder |G| = |V | oder |G| = \frac{1}{2} · |V |. Hinweis: Betrachte im zweiten Fall die Linksnebenklassen nach G (in V) . (3)

32. Aufgabe: Seien A := ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) , B := ( \begin{matrix}0 & i \\ i & 0 \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(C) .

a) Beweise: A^{2} = B^{2} , A^{4} = B^{4} = E (Einheitsmatrix) , A^{3}B = BA.

b) Begründe, daß Q := ⟨A, B⟩ ⊆ GL_{2}(C) eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung 8 ist.

c) Bestimme die Ordnung eines jeden Elemntes aus (Q, ·) .

d) Bestimme den Untergruppenverband von (Q, ·) und stelle ihn in übersichtlicher Form graphisch dar. (5)

33. Aufgabe: Für eine nichtleere Teilmenge T ⊆ IN_{n} sei

F_{T} := { π | π ∈ S_{n} , π(x) = x ∀ x ∈ T }

a) Beweise, daß F_{T} eine Untergruppe von (S_{n}, ∘) ist .

b) Bestimme die Ordnung von F_{T} . (3)