7. Übungsblatt

GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06) Abgabe: Do. 8.12.2005, bis 13.00 Uhr Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr.

Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

26. Aufgabe: (G, ⋆) sei eine endliche Gruppe der Ordnung n.

a) \underline{Sei n ungerade:} Untersuche, ob es ein Element ≠ e in G gibt, das zu sich selbst invers ist.

b) \underline{Sei n gerade:} Beweise, daß es mindestens ein Element ≠ e in G gibt, das zu sich selbst invers ist. Ist die Anzahl dieser Elemente immer gerade oder ungerade? (2)

27. Aufgabe: Bestimme in den folgenden Fällen den Untergruppenverband der Gruppe (G, ⋆) und stelle ihn graphisch dar (achte dabei auf Übersichtlichkeit!):

a) G = C_{8}  b) G = C_{2} × C_{4} .  (7)

28. Aufgabe: In dieser Aufgabe sollen die Gruppen der Ordnung 6 genauer untersucht werden. Beweise:

a) Es gibt keine Gruppe der Ordnung 6, in der jedes Element eine Ordnung ≤ 2 besitzt.

b) Ist (G, ⋆) eine abelsche Gruppe der Ordnung 6 , so ist (G, ⋆) zyklisch.

c) Eine nichtabelsche Gruppe (G, ⋆) der Ordnung 6 enthält Elemente a, b ∈ G mit folgenden Eigenschaften:

i) ord(a) = 3 , ord(b) = 2 (korrigiert!)

ii) a ⋆ b ≠ b ⋆ a iii) a ⋆ b = b ⋆ a^{(2)} iv) G = {e, a, a^{(2)}, b, b ⋆ a, b ⋆ a^{(2)}}.

Welche Ordnung haben die übrigen Elemente? Stelle die Gruppentafel für (G, ⋆) auf. Bestimme den Untergruppenverband von (G, ⋆) und stelle ihn graphisch dar. (7)

*29. Aufgabe: Beweise mit Methoden des fünften Paragraphen: Für jede natürliche Zahl n gilt ∑_{t|n} φ(t) = n , wobei links über alle positiven Teiler t von n summiert wird. (3*)