6. Übungsblatt

GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06) Abgabe: Do. 1.12.2005, bis 13.00 Uhr Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr.

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21. Aufgabe: Seien (G, ⋆) eine beliebige Gruppe und M eine beliebige nichtleere Mengen. Abb(M, G) bezeichne die Menge aller Abbildungen von M nach G. Für f, g ∈ Abb(M, G) sei definiert

(f ⊙ ⋆ g)(x) := f(x) ⋆ g(x) ∀ x ∈ M

Beweise:

a) Durch die obige Festsetzung wird eine Verknüpfung ⊙ ⋆ auf Abb(M, G) definiert, so daß (Abb(M, G), ⊙ ⋆ ) eine Gruppe wird .

b) ⋆ kommutativ ⟹ ⊙ ⋆ kommutativ .

c) Ist (G, ⋆) eine endliche Gruppe, so hat jedes Element in (Abb(M, G), ⊙ ⋆ ) endliche Ordnung.

d) Ist (H, ⋆) eine Gruppe der Ordnung 2 , so ist die Ordnung von (Abb(IN, H), ⊙ ⋆ ) unendlich. Bestimme die Ordnung eines jeden Elements aus (Abb(IN, H), ⊙ ⋆ ) . (5)

22. Aufgabe: (G, ⋆) sei eine endliche Gruppe der Ordnung m·n mit teilerfremden natürlichen Zahlen m und n. Ferner seien U und V Untergruppen von (G, ⋆) der Ordnung m bzw. n, und es gelte U ⋆ V = V ⋆ U . Beweise:

a) U ∩ V = { e }  b) U ⋆ V = G.  (3)

23. Aufgabe: Sei (G, ⋆) eine Gruppe, in der jedes Element eine Ordnung ≤ 2 besitzt. Beweise, daß (G, ⋆) abelsch ist. (2)

24. Aufgabe: Seien A := ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , B := ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(IR) .

a) Beweise: A · B ≠ B · A

b) Bestimme ord(A) , ord(B) und ord(A · B) in der Gruppe (GL_{2}(IR), ·) . (3)

25. Aufgabe: Sei U ≤ (C^{⋆}, ·) eine \underline{endliche} Untergruppe. Beweise:

a) |U| = n ⟹ U = EW_{n} .

b) W := ⋃_{n∈IN} EW_{n} ist eine Untergruppe von (C^{⋆}, ·) , die unendlich ist. (3)

c*) Seien U und V endliche Untergruppen von (C^{⋆}, ·) .

i) Beweise: U ⊆ V ⟺ |U| ist ein Teiler von |V |.

ii) Bestimme die Ordnungen der Untergruppen U ∩ V und U · V .

iii) Veranschauliche die Situation in der Gauß´ schen Zahlenebene in den Fällen |U| = 4 und |V | = 6 bzw. |U| = 4 und |V | = 3 . (3*)