5. Übungsblatt

GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06)

Abgabe: Do. 24.11.2005, bis 13.00 Uhr

Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr.

Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

17. Aufgabe: Sei n ∈ IN . Die Linksnebenklasse von a ∈ ZZ nach der Untergruppe ⟨n⟩ = ZZn von (ZZ, +) werde mit [a]_{n} bezeichnet. Ferner sei ZZ_{n} := L_{ZZn}(ZZ) = { [a]_{n} | a ∈ ZZ } die Menge aller Linksnebenklassen nach ZZn. Beweise:

a) Die folgenden drei Aussagen sind für a, b ∈ ZZ äquivalent:

i) [a]_{n} = [b]_{n} ii) n | (a − b) iii) a und b haben bei Division durch n denselben Rest.

b) ZZ_{n} = { [0]_{n}, [1]_{n}, [2]_{n}, …, [n − 1]_{n} }

c) | ZZ_{n} | = n. (5)

18. Aufgabe: In der Gruppe (C^{⋆}, ·) sei S := {z | z ∈ C^{⋆} , |z| = 1 }. Beweise:

a) S ≤ (C^{⋆}, ·)

b) Für z, w ∈ C^{⋆} gilt: z · S = w · S ⟺ |z| = |w|

c) Stelle die Linksnebenklassen 1 · S , (1 + i) · S , (2i) · S anschaulich in der Gauß’schen Zahlenebene dar.

d) Stelle C^{⋆} als disjunkte Vereinigung von Linksnebenklassen nach S dar. (3)

19. Aufgabe: In der Bezeichnungsweise von Aufgabe 16 gilt D ≤ (O(2), ·) .

a) Bestimme alle Links– und Rechtsnebenklassen nach D. Wieviele gibt es jeweils davon?

b) Beweise: M · D = D · M für alle M ∈ O(2) (3)

20. Aufgabe: Sei A := \{0, \frac{2π}{3}, \frac{4π}{3}\}. Setze Δ_{3} := \{D(α)|α ∈ A\} ∪ \{S(α)|α ∈ A\}, wobei D(α) und S(α) in Aufgabe 16 definiert sind.

a) Stelle die Verknüpfungstafel für (Δ_{3}, ·) auf.

b) Beweise, daß Δ_{3} eine Untergruppe der Ordnung 6 von (O(2), ·) ist . Ist die Gruppe (Δ_{3}, ·) abelsch? (5) c*) Sei n ∈ IN . Definiere in Verallgemeinerung von b) eine Untergruppe Δ_{n} von (O(2), ·) , die die Ordnung 2n hat (ein Nachweis der Untergruppeneigenschaft ist erforderlich!). Für welche n ist diese Gruppe abelsch und für welche nicht? Finde in (Δ_{n}, ·) eine zyklische Untergruppe der Ordnung n und n Untergruppen der Ordnung 2 . (3*)