4. Übungsblatt

GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06)

Abgabe: Do. 17.11.2005, bis 13.00 Uhr

Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr.

Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

13. Aufgabe: Sei (G, ⋆) eine Gruppe. U und V seien Untergruppen von (G, ⋆) . Beweise:

a) U ⊆ U ⋆ V b) U ⋆ U = U , \overline{U} = U

c) Ist U ⋆ V Unterguppe von (G, ⋆) , so folgt U ⋆ V = V ⋆ U

d) Im Falle U ⋆ V = V ⋆ U gilt U ⋆ V = ⟨U ∪ V ⟩

e) Für eine beliebige nichtleere Teilmenge S ⊆ G gilt:

S Untergruppe von (G, ⋆) ⟺ S ⋆ \overline{S} ⊆ S (5)

14. Aufgabe: a) Bestimme den ggT g der Zahlen a = 1386 und b = 1176 mit Hilfe des euklidischen Algorithmus, und stelle g als ganzzahlige Linearkombination von a und b dar.

b) Bestimme das kgV der Zahlen a und b aus a) .

c) Bestimme die Anzahl aller Teiler von 6552 . (3)

15. Aufgabe: Seien a, b ∈ ZZ und sei g := ggT(a, b) ≠ 0 . Beweise:

a) ggT(\frac{a}{g}, \frac{b}{g}) = 1 (Beachte: \frac{a}{g}, \frac{b}{g} ∈ ZZ) .

b) Gelte g = x_{0}a + y_{0}b mit x_{0}, y_{0} ∈ ZZ . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

i) Für x, y ∈ ZZ gilt g = xa + yb ii) Es gibt t ∈ ZZ mit x = x_{0} − \frac{b}{g} · t und y = y_{0} + \frac{a}{g} · t. (3)

16. Aufgabe: Setze D(α) := ( \begin{matrix}cos(α) & − sin(α) \\ sin(α) & cos(α) \end{matrix} ) , S(α) := ( \begin{matrix}cos(α) & sin(α) \\ sin(α) & − cos(α) \end{matrix} ) ∈ M_{2}(IR)

für α ∈ IR und D := {D(α) | α ∈ IR} und S := {S(α) | α ∈ IR}. Beweise:

a) D ∪ S ⊆ O(2) . Was ist D ∩ S? b) D · D ⊆ D , D · S ⊆ S , S · S ⊆ D c) D ist eine Untergruppe von (O(2), ·) . Ist (D, ·) abelsch? Ist auch S eine Untergruppe von (O(2), ·) ? (5) d*) Aus den Übungen ist bekannt, daß eine lineare Abbildung E ⟶ E mit D(α) als Darstellungsmatrix eine Drehung der Ebene E um 0 mit dem Drehwinkel α ist. Wie läßt sich eine lineare Abbildunge mit S(α) als Darstellungsmatrix anschaulich beschreiben? Beweise: O(2) ⊆ D ∪ S. (3*)