3. Übungsblatt

GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06)

Abgabe: Do. 10.11.2005, bis 13.00 Uhr

Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen!

Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

9. Aufgabe: (G, ⋆) sei eine Gruppe und a ∈ G ein beliebiges Element. Beweise: ⟨a⟩ = ⟨\overline{a}⟩. (2)

10. Aufgabe: a) (G, ⋆) sei eine \underline{abelsche} Gruppe und E = \{x, y\} ⊆ G. Beweise:

⟨E⟩ = { x^{(m)} ⋆ y^{(n)} | m, n ∈ ZZ }

b) Beweise, daß E := { (2, 3), (1, 2) } ein EZS der Produktgruppe (ZZ × ZZ, ⊗) der Gruppe (ZZ, +) mit sich ist. (5)

c*) Sei F = {(a, b), (c, d)} ⊆ ZZ × ZZ . Finde eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß F ein EZS von (ZZ × ZZ, ⊗) ist, und beweise deine Behauptung. (3*)

11. Aufgabe: Sei Q_{>0} die Menge der positiven rationalen Zahlen.

a) Beweise, daß (Q_{>0}, ·) eine abelsche Gruppe ist.

b) Untersuche, ob die Menge IP aller Primzahlen ein EZS von (Q_{>0}, ·) ist. Hinweis: Jede natürliche Zahl ≥ 2 läßt sich als Produkt von Primzahlen darstellen.

c) Untersuche, ob (Q_{>0}, ·) endlich erzeugbar ist. (6)

12. Aufgabe: (G, ⋆) sei eine Gruppe und ∅ ≠ U ⊆ G eine \underline{endliche} Teilmenge. Beweise, daß U genau dann eine Untergruppe von (G, ⋆) ist, wenn U abgeschlossen bzgl. ⋆ ist. (3)

Ein schönes Beispiel (außer Konkurrenz): Die Verknüpfung ⋆ auf der Menge M = {a, b, c, d, e, f} sei durch die folgende Verknüpfungstafel definiert:

⋆ a b c d e f_{a a b c d e f}_{b b c a e f d}_{c c a b f d e}_{d d e f c b a}_{e e f d b a c}_{f f d e a c b}

Aus dieser Tafel liest man ab:

⋆ ist kommutativ

Es gibt ein neutrales Element

Jedes Element aus M ist invertierbar

In jeder Zeile und Spalte kommt

jedes Element von M genau einmal vor

Aber: (M, ⋆) ist keine Gruppe! (Wieso?)