2. Übungsblatt

GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06)

Abgabe: Do. 3.11.2005, bis 13.00 Uhr

Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr.

Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

5. Aufgabe: Seien ρ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} ) , σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{matrix} ) ∈ S_{4} und

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 1 \\ −1 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ GL_{3}(IR).

Berechne in der Produktgruppe (S_{4} × GL_{3}(IR), ⊗) :

a) (ρ, A) ⊗ (σ, B)

b) das Inverse von (σ, B)

c) die Potenz (ρ, A)^{(−3)}

d) Welches ist das neutrale Element? (4)

6. Aufgabe: Untersuche, ob die Gruppe (Q, +) zyklisch ist. (3)

7. Aufgabe: (G, ⋆) sei eine Gruppe, U und V seien Untergruppen von (G, ⋆) . Beweise, daß U ∪ V genau dann eine Untergruppe von (G, ⋆) ist, wenn U ⊆ V oder V ⊆ U gilt. (3)

8. Aufgabe: Es bezeichne d_{k} : E ⟶ E für k ∈ ZZ die Drehung der Ebene E um den Winkel k · \frac{π}{3} (im mathematisch positiven Sinn) mit 0 als Mittelpunkt. Ferner sei C_{6} := \{d_{k}|k ∈ ZZ\}.

a) Beweise, daß C_{6} genau 6 Elemente enthält .

b) Stelle die Verknüpfungstafel für (C_{6}, ∘) auf.

c) Beweise, daß (C_{6}, ∘) eine zyklische Gruppe ist, und bestimme alle erzeugenden Elemente von (C_{6}, ∘) .

d) Bestimme alle Untergruppen von (C_{6}, ∘) und untersuche, welche davon zyklisch sind. Hinweis: Der Satz von Lagrange darf hier nicht benutzt werden! (6) e^{⋆}) (Freiwillige Sonderaufgabe) Sind die Drehungen d_{k} IR–lineare Abbildungen? Wenn ja, bestimme ihre Darstellungsmatrizen. Läßt sich irgendetwas Signifikantes über die Menge dieser Darstellungsmatrizen aussagen? (3*)