14. Übungsblatt

GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06) Abgabe: Do. 9.2.2006, bis 13.00 Uhr Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr.

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59. Aufgabe: R und S seien Ringe. Beweise:

a) Ist α : R ⟶ S ein Ringhomomorphismus, so gilt

i) α(R^{⋆}) ⊆ S^{⋆} ii) α Ringisomorphismus ⟹ α(R^{⋆}) = S^{⋆}

b) (R × S)^{⋆} = R^{⋆} × S^{⋆} (4)

60. Aufgabe: Es sei D_{n}(IR) die Menge der oberen (n × n)–Dreiecksmatizen über IR (n ∈ IN) .

a) Beweise, daß D_{n}(IR) ein Ring ist.

b) Die Abbildung α : D_{n}(IR) ⟶ IR^{n} sei definiert durch (a_{ik}) ⟼ (a_{ii}) . Beweise, daß α ein surjektiver Ringhomomorphismus ist, und bestimme Kern(α) .

c) Beweise, daß der Faktorring D_{n}(IR)/Kern(α) ringisomorph zu dem Ring IR^{n} ist. (4)

61. Aufgabe: Sei n ∈ IN . ZZ_{n} wird hier als Ring betrachtet. Beweise:

a) Für a ∈ ZZ gilt [a]_{n} ∈ ZZ_{n}^{⋆} ⟺ ggT(a, n) = 1 .

b) |ZZ_{n}^{⋆}| = φ(n) (Hinweis: s. (5.8) ) .

c) Für jedes a ∈ ZZ mit ggT(a, n) = 1 gilt a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n) . (4)

62. Aufgabe: Seien m und n \underline{teilerfremde} Zahlen aus IN . Beweise:

a) Die Abbildung α : ZZ_{mn} ⟶ ZZ_{m} × ZZ_{n} , [a]_{mn} ⟼ ([a]_{m}, [a]_{n}) aus dem 2. Beweis von Lemma (9.4) ist auch ein Ringisomorphismsus .

b) |ZZ_{mn}^{⋆}| = |ZZ_{m}^{⋆}| · |ZZ_{n}^{⋆}|. Was läßt sich hieraus für die Euler’sche Funktion φ folgern? (4)

63*. Aufgabe: a) Beweise: |ZZ_{p^{k}}^{⋆}| = p^{k} − p^{k−1} für alle p ∈ IP und k ∈ IN (Hinweis: Zähle die Zahlen aus { r | r ∈ IN, 1 ≤ r ≤ p^{k} }, die nicht teilerfremd zu p^{k} sind) .

b) Leite aus a) und Aufgabe 62 b) eine Formel für die Berechnung von φ(n) (n ≥ 2) her, die auf der kanonischen PFZ von n basiert. (3*)