12. Übungsblatt

GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06) Abgabe: Do. 26.1.2006, bis 13.00 Uhr Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

49. Aufgabe: G_{i}, H_{i} seien Gruppen (i = 1, 2, …, r) . Für jedes i sei f_{i} : G_{i} ⟶ H_{i} ein Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung f : G_{1} × … × G_{r} ⟶ H_{1} × … × H_{r} sei definiert durch

f((a_{1}, …, a_{r})) := (f_{1}(a_{1}), …, f_{r}(a_{r})) ∀ (a_{1}, …, a_{r}) ∈ G_{1} × … × G_{r}.

Beweise:

a) f ist ein Gruppenhomomorphismus

b) f injektiv ⟺ f_{i} ist injektiv für jedes i = 1, …, r

c) f surjektiv ⟺ f_{i} ist surjektiv für jedes i = 1, …, r

d) f bijektiv ⟺ f_{i} ist bijektiv für jedes i = 1, …, r. (4)

50. Aufgabe: Sei p ∈ IP. Eine (nicht notwendig endliche) abelsche Gruppe heißt p–primär, wenn die Ordnung eines jeden Elemnentes von G eine Potenz von p ist. Beweise für eine p–primäre Gruppe:

a) Jede Untergruppe U ≤ G ist p–primär.

b) Ist f : G ⟶ H ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, so ist auch H p–primär.

c) Das kartesische Produkt zweier Gruppen H und K ist genau dann p–primär, wenn H und K p–primär sind . (3)

51. Aufgabe: Es sei G eine Gruppe und p eine Primzahl.

a) Untersuche, ob die folgende Aussage richtig ist: N Normalteiler in G und G/N zyklisch ⟹ G abelsch. Beweise:

b) N Normalteiler in G mit N ⊆ Z(G) und G/N zyklisch ⟹ G abelsch.

c) Gilt |G| = p^{2} , so ist G abelsch, und es gilt G ≅ ZZ_{p^{2}} oder G ≅ ZZ_{p} × ZZ_{p}. (Hinweis: Ohne Beweis darf benutzt werden, daß das Zentrum von G nicht {1_{G}} ist )

d) Untersuche, ob auch jede Gruppe der Ordnung p^{3} abelsch ist. (5)

52. Aufgabe: Bestimme in den folgenden Fällen die Anzahl der Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung n und gib für jede Isomorphieklasse einen Vertreter an:

a) n = 243  b) n = 5000 .  (4)

*53. Aufgabe: Sei p eine Primzahl und G := GL_{3}(ZZ_{p}) die allgemeine lineare Gruppe der invertierbaren (3 × 3)–Matrizen über dem Körper ZZ_{p}. Beweise, daß

U := \{ ( \begin{matrix}1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) | x, y, z ∈ ZZ_{p} \}

eine p–Sylowuntergruppe von G ist. (3*)