11. Übungsblatt

GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06) Abgabe: Do. 19.1.2006, bis 13.00 Uhr Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

44. Aufgabe: a) G sei eine Gruppe und N ein Normalteiler in G. Beweise, daß die Abbildung f von der Menge U := { U | N ⊆ U , U ≤ G } in die Menge V := {V | V ≤ G/N} definiert durch f(U) := U/N bijektiv ist.

b) Bestimme mit Hilfe von a) alle Untergruppen der Faktorgruppe ZZ/ZZ12 = ZZ_{12} .

c) Seien m, n ∈ IN und gelte m|n. Bestimme den Index (ZZm : ZZn) . (4)

45. Aufgabe: Sei n ∈ IN . Dann ist die Kongruenzrelation modulo n auf ZZ definiert durch a ≡ b (mod n) ⟺ n | (a − b) (∀ a, b ∈ ZZ)

(a ≡ b (mod n) wird gelesen als: “a ist kongruent zu b modulo n”) . Beweise, daß für alle a, b, c, d ∈ ZZ gilt a) a ≡ a (mod n) b) a ≡ b (mod n) ⟹ b ≡ a (mod n)

c) a ≡ b (mod n) und b ≡ c (mod n) ⟹ a ≡ c (mod n)

d) Aus a ≡ b (mod n) und c ≡ d (mod n) folgt a + c ≡ b + d (mod n) und a · c ≡ b · d (mod n)

e) [a]_{n} = { x | x ∈ ZZ , x ≡ a (mod n) }

f) Sind m und n teilerfremde natürliche Zahlen, so sind die Kongruenzen (⋆) x ≡ a (mod m) , x ≡ b (mod n)

simultan in ZZ lösbar, und je zwei Lösungen von (⋆) sind kongruent modulo m · n. Hinweis: (9.4) könnte hilfreich sein! (5)

46. Aufgabe: G sei eine Gruppe. Für ein Element a ∈ G sei die Abbildung τ_{a} : G ⟶ G definiert durch τ_{a}(x) := axa^{−1} (x ∈ G) . Beweise:

a) τ_{a} ist ein Gruppenisomorphismus.

b) Eine Untergruppe U ≤ G ist genau dann ein Normalteiler in G, wenn τ_{a}(U) = U für alle a ∈ G gilt. (3)

47. Aufgabe: Das Zentrum Z(G) einer Gruppe G ist definiert durch Z(G) := { a | a ∈ G , ∀ x ∈ G : ax = xa } .

a) Beweise, daß Z(G) ein Normalteiler in G ist.

b) Bestimme Z(GL_{2}(IR)) . (4)

*48. Aufgabe: G sei eine Gruppe, U eine Untergruppe von G und N ein Normalteiler von G. Beweise:

a) UN ≤ G b) N ist Normalteiler in UN c) U ∩ N ist Normalteiler in U

d) U/U ∩ N ≅ UN/N (Hinweis: Benutze den Homomorphiesatz).

e) Läßt sich mit Hilfe von d) ein neuer Beweis für (3.14) (nur für natürliche Zahlen) finden? (3*)