10. Übungsblatt

GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06) Abgabe: Do. 12.1.2006, bis 13.00 Uhr Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

39. Aufgabe: f : (G, ⋆) ⟶ (H, △) sei ein Gruppenhomomorphismus, und es gelte |G| < ∞. Beweise :

a) ord(f(a)) < ∞ und ord(f(a)) | ord(a) ∀ a ∈ G

b) Ist auch H endlich und haben die beiden Gruppen G und H teilerfremde Ordnungen, so folgt f(a) = e_{H} ∀ a ∈ G. (3)

40. Aufgabe: (G, ⋆) sei eine Gruppe, U und V seien Untergruppen von (G, ⋆) . Beweise:

a) Ist U ein Normalteiler von (G, ⋆), so ist U ⋆ V eine Untergruppe von (G, ⋆) .

b) Sind U und V Normalteiler und gilt U ∩ V = {e}, so folgt:

1) Jedes Element aus a ∈ U ⋆ V läßt sich eindeutig in der Form a = u ⋆ v mit u ∈ U und v ∈ V darstellen.

2) Für alle u ∈ U und v ∈ V gilt u ⋆ v = v ⋆ u.
3) Es gibt einen Gruppenisomorphismus von der Produktgruppe U × V auf die Gruppe U ⋆ V . (5)

41. Aufgabe: (G, ⋆) und (H, △) seien Gruppen, und P := G × H sei die Produktgruppe. Beweise:

a) Die Abbildung p_{G} : G × H ⟶ G , (a, b) ⟼ a ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Was ist der Kern dieser Abbildung?

b) G × {e_{H}} ist ein Normalteiler in P .

c) Die Faktorgruppe (G × H)/(G × {e_{H}}) ist isomorph zu H. Gib einen Isomorphismus explizit an. (4)

42. Aufgabe: f : (G, ⋆) ⟶ (H, △) sei ein Gruppenhomomorphismus. Beweise:

a) 1) Im Falle |G| ∈ IP ist f entweder injektiv oder trivial.

2) Im Falle |H| ∈ IP ist f entweder surjektiv oder trivial.

b) Ist G endlich, so folgt |G| = |Kern(f)| · |Bild(f)|. (3)

*43. Aufgabe: p sei eine Primzahl. Bekannt ist, daß ZZ_{p} ein Körper mit p Elementen ist (Die additive Gruppe von ZZ_{p} ist die Faktorgruppe von (ZZ, +) nach dem Normalteiler ZZp. Man mache sich klar, wie zwei Restklassen modulo p addiert bzw. multipliziert werden!) (G, +) sei eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe mit neutralem Element 0_{G}, in der jedes Element ≠ 0_{G} die Ordnung p besitzt. Beweise:

a) Auf G wird durch die Festsetzung [a]_{p} · x := ax ([a]_{p} ∈ ZZ_{p} , x ∈ G) eine Skalarmultiplikation definiert, die G zu einem Vektorraum über ZZ_{p} macht. Begründe insbesondere die Wohldefiniertheit der Skalarmultiplikation!

b) Ist G endlich, so ist |G| eine Potenz von p.

c) Eine abelsche Gruppe H der Ordnung p · q , wobei p und q verschiedene Primzahlen sind, ist zyklisch .

d) Gib einen neuen Beweis für Aufgabe 28 a) . (3*)

Frohe Weihnachten und ein erfolgreiches Neues Jahr!