1. Übungsblatt

GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06)

Abgabe: Do. 27.10.2005, bis 13.00 Uhr

Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen!

Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

1. Aufgabe: a) Sei G := {1, −1, i, −i} ⊆ C . Stelle die Verknüpfungstafel für (G, ·) auf und beweise, daß (G, ·) eine abelsche Gruppe ist.

b) Setze M :=: IR\{0}. Ferner sei H die Menge der Abbildungen f_{k} : M ⟶ M (k = 1, 2, 3, 4) , die durch folgende Zurdnungsvorschriften definiert sind: f_{1}(x) = x , f_{2}(x) = −x , f_{3}(x) = 1/x , f_{4}(x) = −1/x (∀ x ∈ M) . Berechne f_{2}∘f_{3} und f_{4}∘f_{4} ausführlich. Stelle die Verknüpfungstafel für (H, ∘) auf und beweise, daß (H, ∘) eine abelsche Gruppe ist. (5)

2. Aufgabe: Eine Matrix M ∈ M_{n}(IR) heißt orthogonal, wenn ^{t}M · M = E_{n} = M ·^{t}M gilt ( ^{t}M bezeichnet die transponierte Matrix von M und E_{n} die n–reihige Einheitsmatrix) . Es sei O(n) ⊆ M_{n}(IR) die Menge aller orthogonalen Matrizen aus M_{n}(IR) . Beweise, daß O(n) eine Gruppe bzgl. der Matrizenmultiplikation ist. (4)

3. Aufgabe: Es sei G eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung ⋆. Beweise, daß (G, ⋆) eine Gruppe ist, wenn die Gleichungen

x ⋆ a = b  und  a ⋆ y = b

für alle a, b ∈ G Lösungen in G besitzen. (3)

4. Aufgabe: Sei G eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung ⋆. Es gelte

i) Es gibt ein e ∈ G mit e ⋆ a = a für alle a ∈ G

ii) Zu jedem a ∈ G gibt es ein b ∈ G mit b ⋆ a = e.

Beweise, daß (G, ⋆) eine Gruppe ist.

Beachte: die Verknüpfung ⋆ muß nicht kommutativ sein! (4)