Chr.Nelius : Grundzüge der Algebra (WS 2005/06)

4. Übungsblatt GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06) Musterlösung für die Aufgabe 16

Aufgabe 16) a) Die Matrizen D(α) und S(α) sind orthogonal, da die Spalten jeweils ein Orthonormalsystem bilden. Folglich \underline{D ∪ S ⊆ O(2)} . Aus det(D(α)) = 1 und det(S(α)) = −1 folgt \underline{D ∩ S = ∅}.

b) Unter Zuhilfenahme der Additionstheoreme für cos und sin läßt sich leicht zeigen: (1) D(α) · D(β) = D(α + β)

(2) D(α) · S(β) = S(α + β)
(3) S(α) · S(β) = D(α − β)

Damit ergibt sich sofort \underline{D · D ⊆ D} , \underline{D · S ⊆ S} , \underline{S · S ⊆ D}

c) Nachweis der Untergruppeneigenschaften für D: UG_{1}) Wegen D · D ⊆ D (nach b) ) ist D abgschlossen bzgl. ·

UG_{2}) D(0) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = E_{2} ∈ D

UG_{3}) D(α) · D(−α) =^{(1)} D(0) = E_{2} = D(−α) · D(α) , d.h. D(α)^{−1} = D(−α) ∈ D.

Damit ist \underline{D Untergruppe von (O(2), ·)} . Aus (1) folgt D(α) · D(β) = D(α + β) = D(β + α) = D(β) · D(α) , d.h. \underline{(D, ·) ist eine abelsche Gruppe} . Wegen E_{2} ∉ S ist \underline{S keine Untergruppe von (O(2), ·)} . d*) Anschaulich ist eine lineare Abbildung s : E ⟶ E mit S(α) als Darstellungsmatrix eine \underline{Spiegelung} der Ebene an einer Geraden durch den Nullpunkt, die mit der positiven x–Achse den Winkel \frac{α}{2} bildet. Die Inklusion \underline{O(2) ⊆ D ∪ S} gilt im wesentlichen deshalb, weil sich Punkte der Ebene, die auf dem Einheitskreis liegen, in der Form

( \begin{matrix}cos(α) \\ sin(α) \end{matrix} )

mit geeignetem α ∈ [0, 2π[ darstellen lassen.