Chr.Nelius : Grundzüge der Algebra (WS 2005/06)

3. Übungsblatt

GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06)

Musterlösung für die Aufgaben 10c*) und 12

Aufgabe 10 c*) Das gesuchte Kriterium lautet: Genau dann ist F = {(a, b), (c, d)} ein EZS von (ZZ × ZZ, ⊗) , wenn gilt

det ( \begin{matrix}a & c \\ b & d \end{matrix} ) ∈ \{ 1, −1 \}

12. Aufgabe: Jede beliebige Untergruppe von (G, ⋆) ist abgeschlossen bzgl. ⋆. Nun die Umkehrung: Sei ∅ ≠ U ⊆ G eine \underline{endliche} Teilmenge. Z.z.: U ≤ (G, ⋆) . UG_{1}) U ist nach Voraussetzung abgeschlossen bzgl. ⋆. UG_{2}) Sei a ∈ U beliebig. Dann folgt

(⋆) a^{(n)} ∈ U ∀ n ∈ IN

Beweis durch vollständige Induktion nach n ≥ 1 : \underline{n = 1} a^{(1)} = a ∈ U \underline{n ⟶ n + 1} Sei n ≥ 1 beliebig, und gelte \underline{a^{(n)} ∈ U} . Dann folgt, da U abgeschlossen ist,

a^{(n+1)} = a^{(n)} ⋆ a ∈ U

Da U nach Voraussetzung endlich ist, muß es m, n ∈ IN geben mit

a^{(m)} = a^{(n)} für m ≠ n

(Sonst müßte U unendlich viele Elemente enthalten!) O.B.d.A. gelte m < n. Die Verknüpfung beider Seiten der letzten Gleichung mit a^{(−m)} ergibt wegen (⋆)

(⋆⋆) \underline{\underline{e}} = a^{(0)} = a^{(n−m)} \underline{\underline{∈ U}} ,

da n − m ∈ IN . Bem.: Wegen U ≠ ∅ gibt es mindestens ein Element in U . UG_{3}) Sei a ∈ U beliebig. Aus (⋆⋆) ergibt sich dann

a ⋆ a^{(n−m−1)} = e = a^{(n−m−1)} ⋆ a ,

wobei n − m − 1 ≥ 0 gilt. Also nach (⋆) bzw. UG_{2})

\underline{\underline{\overline{a}}} = a^{(n−m−1)} \underline{\underline{∈ U}}