Chr.Nelius : Grundzüge der Algebra (WS 2005/06) 1

2. Übungsblatt GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06) Musterlösung

5. Aufgabe: a) (ρ, A) ⊗ (σ, B) = (ρ ∘ σ, A · B) = (( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−2 & 5 & 4 \\ −4 & 6 & 6 \\ −1 & 1 & 1 \end{matrix} ))

b) \overline{(σ, B)} = (σ^{−1}, B^{−1}) = (σ, ( \begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ 1 & 0 & 1 \\ −1 & 1 & −1 \end{matrix} ))

c) (ρ, A)^{(−3)} = (ρ^{−3}, A^{−3}) = (( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & −\frac{7}{4} & 8 \\ 0 & \frac{1}{8} & −\frac{7}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

d) Neutrales Element bzgl. ⊗ ist (( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ))

6. Aufgabe: Annahme: (Q, +) ist zyklisch. Dann existiert ein Element q ∈ Q mit Q = ⟨q⟩ ={nq|n ∈ ZZ}. q ∈ Q läßt sich darstellen in der Form q = \frac{a}{b} , mit a, b ∈ ZZ und b ≠ 0 . Nach Annahme gibt es zu der rationalen Zahl \frac{1}{2b} eine Zahl n ∈ ZZ mit der Eigenschaft

\frac{1}{2b} = nq = n · \frac{a}{b} = \frac{na}{b}

Folglich ist \frac{1}{2} = na ∈ ZZ (da a, n ∈ ZZ) . Widerspruch! Also ist (Q, +) nicht zyklisch.

7. Aufgabe: Gelte U ⊆ V oder V ⊆ U . Dann ist U ∪ V = V bzw. U ∪ V = U jeweils Untergruppe von (G, ⋆) . Sei umgekehrt U ∪ V eine Untergruppe von (G, ⋆) . Annahme: U ⊈ V und V ⊈ U . Dann existieren Elemente a ∈ U \ V und b ∈ V \ U , die beide in U ∪ V liegen. Da U ∪ V Untergruppe ist, folgt a ⋆ b ∈ U ∪ V .

1. Fall: \underline{a ⋆ b ∈ U} ⟹ \underbrace{\overline{a}}_{∈U} ⋆(\underbrace{a ⋆ b}_{∈U}) = (\overline{a} ⋆ a) ⋆ b = e ⋆ b = b ∈ U Wid!

2. Fall: \underline{a ⋆ b ∈ V} ⟹ (\underbrace{a ⋆ b}_{∈V}) ⋆ \underbrace{\overline{b}}_{∈V} = a ∈ V Wid!

Folglich ist die Annahme falsch und die Behauptung richtig.

8. Aufgabe: a) Es ist d_{6} die Drehung um 6 · \frac{π}{3} = 2π, d.h. d_{6} = id_{E}. Ferner gilt

d_{k} ∘ d_{l} = d_{k+l} (k, l ∈ ZZ) ,

da die Drehwinkel nur addiert werden. Sei d_{k} ∈ C_{6} beliebig (k ∈ ZZ) . Division mit Rest liefert k = 6 · l + r mit q, r ∈ ZZ und 0 ≤ r < 6 . Damit folgt

d_{k} = d_{6l+r} = d_{6l} ∘ d_{r} = \underbrace{(d_{6})^{l}}_{=id_{E}} ∘d_{r} = d_{r}

woraus sich C_{6} ⊆ {d_{0}, d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}, d_{5}} ergibt. Da die umgekehrte Inklusion trivialerweise gilt, folgt

C_{6} = {d_{0}, d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}, d_{5}}

Die Drehungen d_{0}, d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}, d_{5} sind paarweise verschieden, also

|C_{6}| = 6

b) Mit d_{k} ∘ d_{l} = d_{k+l} und d_{k} = d_{r}, wobei r der Rest bei Division von k durch 6 ist , ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:

\begin{matrix}∘ & d_{0} & d_{1} & d_{2} & d_{3} & d_{4} & d_{5} \\ d_{0} & d_{0} & d_{1} & d_{2} & d_{3} & d_{4} & d_{5} \\ d_{1} & d_{1} & d_{2} & d_{3} & d_{4} & d_{5} & d_{0} \\ d_{2} & d_{2} & d_{3} & d_{4} & d_{5} & d_{0} & d_{1} \\ d_{3} & d_{3} & d_{4} & d_{5} & d_{0} & d_{1} & d_{2} \\ d_{4} & d_{4} & d_{5} & d_{0} & d_{1} & d_{2} & d_{3} \\ d_{5} & d_{5} & d_{0} & d_{1} & d_{2} & d_{3} & d_{4} \end{matrix}

c) Die Hintereinanderausführung ∘ ist assoziativ. Die übrigen Gruppeneigenschaften lassen sich leicht aus der Verknüpfungstafel ablesen. Wir bestimmen jetzt zu jedem d ∈ C_{6} die von d erzeugte Untergruppe

⟨d⟩ = {d^{n}|n ∈ ZZ}

Da die Gruppe endlich ist, müssen sich die Potenzen wiederholen. \underline{⟨d_{0}⟩ = \{d_{0}\}} d_{1}^{0} = d_{0} , d_{1}^{1} = d_{1} , d_{1}^{2} = d_{2}, d_{1}^{3} = d_{3} , d_{1}^{4} = d_{4} , d_{1}^{5} = d_{5} , also C_{6} ⊆ ⟨d_{1}⟩ ⊆ C_{6} und damit \underline{⟨d_{1}⟩ = C_{6}} (⟹ (C_{6}, ∘) ist zyklisch) \underline{⟨d_{2}⟩ = \{d_{0}, d_{2}, d_{4}\}} \underline{⟨d_{3}⟩ = \{d_{0}, d_{3}\}} \underline{⟨d_{4}⟩ = \{d_{0}, d_{4}, d_{2}\}} \underline{⟨d_{5}⟩ = \{d_{0}, d_{5}, d_{4}, d_{3}, d_{2}, d_{1}\} = C_{6}} Fazit: (C_{6}, ∘) ist eine zyklische Gruppe, deren erzeugende Elemente d_{1} oder d_{5} sind. d) Triviale Untergruppen von (C_{6}, ∘) sind

\underline{⟨d_{0}⟩ = \{d_{0}\}} und \underline{C_{6} = ⟨d_{1}⟩ = ⟨d_{5}⟩} .

Ist U eine Untergruppe von (C_{6}, ∘) mit d_{1} ∈ U , so folgt C_{6} = ⟨d_{1}⟩ ⊆ U ⊆ C_{6} , d.h. U = C_{6}. Entsprechend gilt: d_{5} ∈ U ⟹ U = C_{6} . Fazit:

(⋆) U ≤ (C_{6}, ∘) und U ≠ C_{6} ⟹ U ⊆ {d_{0}, d_{2}, d_{3}, d_{4}}

Insbesondere kann es keine Untergruppe von (C_{6}, ∘) mit 5 Elementen geben.

Eine Unterguppe U ≤ (C_{6}, ∘) mit 2 Elementen enthält d_{0} und ein Element ≠ d_{0} , das zu sich selbst invers ist (s. (1.13) ). Da d_{3} das einzige Element mit dieser Eigenschaft ist, gibt es auch nur die eine Untergruppe mit 2 Elementen, nämlich

\underline{\{d_{0}, d_{3}\} = ⟨d_{3}⟩}

Eine Untergruppe V ≤ (C_{6}, ∘) mit 3 Elementen enthält d_{0} und zwei weitere Elemente d, d′ ∈ C_{6} mit d ∘ d′ = d_{0} (s. (1.13) ) . Wegen d_{1}, d_{5} ∉ C_{6} ist d_{2}, d_{4} die einzige Möglichkeit, d.h.

\underline{\{d_{0}, d_{2}, d_{4}\} = ⟨d_{2}⟩ = ⟨d_{4}⟩}

ist die einzige Untergruppe mit 3 Elementen.

Für eine Untergruppe W mit 4 Elementen müßte

W = {d_{0}, d_{2}, d_{3}, d_{4}}

nach (⋆) gelten. W aber ist keine Untergruppe von (C_{6}, ∘) , da W nicht abgschlossen bzgl. ∘ ist (d_{2} ∘ d_{3} = d_{5} ∉ W) . Also gibt es keine Untergruppe mit 4 Elementen.

Damit sind alle Untergruppen von (C_{6}, ∘) bestimmt: Es gibt jeweils genau eine Untergruppe mit 1,2,3 bzw. 6 Elementen, und jede Untergruppe ist zyklisch.