Chr.Nelius : Grundzüge der Algebra (WS 2005/06)

14. Übungsblatt

Musterlösungen

Aufgabe 59 a) α : R ⟶ S sei ein Ringhomomorphismus.

i) Sei a ∈ R^{⋆} beliebig. Dann existiert ein b ∈ R mit ab = 1_{R} = ba. Da α ein Ringhom. ist, folgt

α(a)α(b) = α(ab) = \underbrace{α(1_{R}}_{=1_{S}}) = α(ba) = α(b)α(a)

also α(a) ∈ S^{⋆} und damit \underline{\underline{α(R^{⋆}) ⊆ S^{⋆}}}.

ii) Wegen i) ist nur \underline{S^{⋆} ⊆ α(R^{⋆})} zu zeigen.

Sei c ∈ S^{⋆} beliebig. Dann existiert ein d ∈ S mit cd = 1_{S} = dc. Da α surjektiv ist, besitzen c und d Urbilder a bzw. b in R unter α, also c = α(a) und d = α(b) , also

α(ab) = α(a)α(b) = cd = \underbrace{1_{S}}_{=α(1_{R})} = dc = α(b)α(a) = α(ba)

Da α injektiv ist, folgt ab = 1_{R} = ba , d.h. a ∈ R^{⋆} und c = α(a) ∈ α(R^{⋆}) . Damit gilt \underline{\underline{S^{⋆} ⊆ α(R^{⋆})}} .

b) “⊆” Sei (a, b) ∈ (R × S)^{⋆} beliebig. Dann gibt es ein (c, d) ∈ R × S mit

(ac, bd) = (a, b)(c, d) = (1_{R}, 1_{S}) = (c, d)(a, b) = (ca, db) .

also ac = 1_{R} = ca und bd = 1_{S} = db , d.h. a ∈ R^{⋆} und b ∈ S^{⋆}, woraus (a, b) ∈ R^{⋆} × S^{⋆} folgt. Damit ist \underline{\underline{(R × S)^{⋆} ⊆ R^{⋆} × S^{⋆}}} gezeigt.

“⊇” Sei (a, b) ∈ R^{⋆} × S^{⋆} beliebig. Dann folgt a ∈ R^{⋆} und b ∈ S^{⋆} , so daß es Elemente c ∈ R und d ∈ S gibt mit ac = 1_{R} = ca und bd = 1_{S} = db . Dann gilt für (c, d) ∈ R × S

(a, b)(c, d) = (ac, bd) = (1_{R}, 1_{S}) = (ca, db) = (c, d)(a, b) ,

d.h. (a, b) ∈ (R × S)^{⋆}. Folglich \underline{\underline{R^{⋆} × S^{⋆} ⊆ (R × S)^{⋆}}}.

Insgesamt gilt die Gleichheit.

60. Aufgabe: Eine obere Dreiecksmatrix A ∈ D_{n}(IR) ist von der Form A = ( \begin{matrix}⋆ & … & ⋆ \\ & ... & ⋮ \\ 0 & & ⋆ \end{matrix} ).

a) Seien A = (a_{ik}), B = (b_{ik}) ∈ D_{n}(IR) . Dann folgt

A−B = ( \begin{matrix}a_{11} − b_{11} & … & ⋆ \\ & ... & ⋮ \\ 0 & & a_{nn} − b_{nn} \end{matrix} ) ∈ D_{n}(IR) und AB = ( \begin{matrix}a_{11}b_{11} & … & ⋆ \\ & ... & ⋮ \\ 0 & & a_{nn}b_{nn} \end{matrix} ) ∈ D_{n}(IR).

Ebenso gilt für die Einheitsmatrix E ∈ D_{n}(IR) . Also ist D_{n}(IR) ein Unterring von M_{n}(IR) und damit selbst ein Ring.

Chr.Nelius : Grundzüge der Algebra (WS 2005/06) 2 b) Die Abbildung α : D_{n}(IR) ⟶ IR^{n} ist definiert durch

( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ & ... & ⋮ \\ 0 & & a_{nn} \end{matrix} ) ⟼ ( a_{11} ; ⋮ ; a_{nn} ) .

IR^{n} ist ein Ring bzgl. komponentenweise definierter Addition und Multiplikation. Mit a) folgt

α(A + B) = ( a_{11} + b_{11} ; ⋮ ; a_{nn} + b_{nn} ) = ( a_{11} ; ⋮ ; a_{nn} ) + ( b_{11} ; ⋮ ; b_{nn} ) = α(A) + α(B)

α(AB) = ( a_{11}b_{11} ; ⋮ ; a_{nn}b_{nn} ) = ( a_{11} ; ⋮ ; a_{nn} ) ( b_{11} ; ⋮ ; b_{nn} ) = α(A)α(B)

α(E) = ( 1 ⋮ 1 ) (Einselement in IR^{n}) . Damit ist α ein \underline{Ringhomomorphismus}. Ist a = ( a_{1} ; ⋮ ; a_{n} ) ∈ IR^{n} beliebig, so ist die Diagonalmatrix ( \begin{matrix}a_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & a_{n} \end{matrix} ) ∈ D_{n}(IR) ein Urbild von a unter α. Damit ist α \underline{surjektiv} . Für A = (a_{ik}) ∈ D_{n}(IR) gilt:

A ∈ Kern(α) ⟺ (0) = α(A) = (a_{ii}) ⟺ A = ( \begin{matrix}0 & & & & ⋆ \\ & . & . & . \\ 0 & & & & 0 \end{matrix} ) ,

d.h. A ist eine strikt obere Dreiecksmatrix. Damit ist \underline{Kern(α)} die Menge aller strikt oberen Dreiecksmatrizen in D_{n}(IR) .

c) Nach dem Ringhomomorphiesatz (13.14) gilt D_{n}(IR)/Kern(α) ≅ IR^{n} ,

da α ein surjektiver Ringhomomorphismus ist.

61. Aufgabe: a) “⟹” Sei [a]_{n} ∈ ZZ_{n}^{⋆}. Dann existiert [b]_{n} ∈ ZZ_{n} mit

[1]_{n} = [a]_{n}[b]_{n} = [ab]_{n} .

Dies ist gleichbedeutend mit

ab ≡ 1 (mod n) .

Wegen n|1 − ab gibt es ein k ∈ ZZ mit nk = 1 − ab , d.h.

\underline{a}b + \underline{n}k = 1 .

Da 1 eine ganzzahlige Linearkombination von a und n ist, folgt mit (3.9)

ggT(a, n) = 1 .

“⟸” Sind a und n teilerfremd, so gibt es nach (3.9) Zahlen b, k ∈ ZZ mit ab + kn = 1 . Also

[1]_{n} = [ab + kn]_{n} = [ab]_{n} + [kn]_{n} = [ab]_{n} + [0]_{n} = [ab]_{n} = [a]_{n}[b]_{n} .

Folglich ist [a]_{n} eine Einheit in ZZ_{n}.

b) Es gilt ZZ_{n} = { [0]_{n}, [1]_{n}, …, [n − 1]_{n} }. Sei k ∈ {0, 1, 2, …, n − 1} . Nach a) gilt

[k]_{n} ∈ ZZ_{n}^{⋆} ⟺ ggT(k, n) = 1 .

Also mit (5.8) | ZZ_{n}^{⋆} | = |{ k | 0 ≤ k ≤ n − 1 , ggT(k, n) = 1 } | = φ(n) .

c) (ZZ_{n}^{⋆}, ·) ist eine endliche Gruppe der Ordnung φ(n) . Sei a ∈ ZZ eine beliebige Zahl, die zu n teilerfremd ist. Dann ist [a]_{n} nach a) ein Element aus ZZ_{n}^{⋆}, und es folgt

[a^{φ(n)}]_{n} = [a]_{n}^{φ(n)} = [1]_{n} .

Also gilt, falls ggT(a, n) = 1

a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n)

Bemerkung: Dies ist ein wichtiges Ergebnis der Zahlentheorie. Es geht auf L.Euler und Fermat zurück.

62. Aufgabe: a) Nach (9.4) ist die angegebene Abbildung α ein Gruppenisomorphismus der zugrundeliegenden additiven Gruppen. Noch zu zeigen: α(x · y) = α(x) · α(y) und α(1) = 1 . Seien a, b ∈ ZZ:

α([a]_{mn} · [b]_{mn}) = α([a · b]_{mn})
= ([a · b]_{m}, [a · b]_{n})
= ([a]_{m} · [b]_{m}, [a]_{n} · [b]_{n})
= ([a]_{m}, [a]_{n}) · ([b]_{m}, [b]_{n})
= α([a]_{mn}) · α([b]_{mn})

α([1]_{mn}) = ([1]_{m}, [1]_{n}) (Einselement in ZZ_{m} × ZZ_{n}) . Insgesamt ist α : ZZ_{mn} ⟶ ZZ_{m} × ZZ_{n} ein Ringisomorphismus, falls m und n teilerfremd sind. b) Nach a) und Aufgabe 59 gilt

α(ZZ_{mn}^{⋆}) = (ZZ_{m} × ZZ_{n})^{⋆} = ZZ_{m}^{⋆} × ZZ_{n}^{⋆}

Da α bijektiv ist, folgt | α(ZZ_{mn}^{⋆}) | = | ZZ_{mn}^{⋆} |. Also

\underline{\underline{| ZZ_{mn}^{⋆} |}} = | α(ZZ_{mn}^{⋆}) | = | ZZ_{m}^{⋆} × ZZ_{n}^{⋆} | = \underline{\underline{| ZZ_{m}^{⋆} | · | ZZ_{n}^{⋆} |}} .

Mit Aufgabe 61b) kann man auch sagen: Für teilerfremde natürliche Zahlen m und n gilt

φ(m · n) = φ(m) · φ(n) .

Bemerkung: Diese Formel besagt, daß die Euler’sche Funktion φ multiplikativ ist. Sie ist in der Zahlentheorie ein wichtiges Hilfsmittel, um die Werte der Euler’schen Funktion zu berechnen (s. Aufgabe 63b ) .

*63. Aufgabe: a) Es gibt genau p^{k} Zahlen in {1, 2, …, p^{k}}. Wir zeigen im folgenden, daß davon genau p^{k−1} nicht teilerfremd zu p^{k} sind. Daraus folgt dann die Behauptung φ(p^{k}) = p^{k} − p^{k−1} .

Sei l ∈ {1, 2, …, p^{k}}. Dann gilt

ggT(l, p^{k}) = 1 ⟺ ggT(l, p) = 1 ⟺ p | l ⟺ l = mp mit 1 ≤ m ≤ p^{k−1} .

Es gibt also genau p^{k−1} Vielfache von p, die ≤ p^{k} sind. Dies sind genau die Zahlen aus {1, 2, …, p^{k}} , die nicht teilerfremd zu p^{k} sind.

b) Sei n = p_{1}^{k_{1}} · . . . · p_{r}^{k_{r}} die kanonische PFZ von n ≥ 2 . Dann sind die Primzahlen p_{1}, …, p_{r} paarweise verschieden, damit paarweise teilerfremd, so daß auch die auftretenden Primzahlpotenzen paarweise teilerfremd sind.

Die Aussage von Aufgabe 62b) läßt sich auf endlich viele paarweise teilerfremde Zahlen n_{1}, …, n_{r} ausdehnen (durch vollständige Induktion nach r ≥ 2) , d.h. es gilt für solche Zahlen

φ(n_{1} · n_{2} · . . . · n_{r}) = φ(n_{1}) · φ(n_{2}) · . . . · φ(n_{r}) .

Daraus folgt mit a)

φ(n) = φ(p_{1}^{k_{1}}) · . . . · φ(p_{r}^{k_{r}}) = (p_{1}^{k_{1}} − p_{1}^{k_{1}−1}) · . . . · (p_{r}^{k_{r}} − p_{r}^{k_{r}−1}) .

Beispiel: φ(1400) = φ(2^{3}·5^{2}·7) = φ(2^{3})·φ(5^{2})·φ(7) = (2^{3}−2^{2})(5^{2}−5^{1})(7−1) = 4·20·6 = 480