Chr.Nelius : Grundzüge der Algebra (WS 2005/06)

12. Übungsblatt

Musterlösungen zu den Aufgaben 50 und 53

50. Aufgabe: a) Hat jedes Element aus G p–Potenzordnung, so gilt dies insbesondere für alle Elemente der Untergruppe U ⊆ G.

b) Sei b ∈ H beliebig. Da f surjektiv ist, existiert ein a ∈ G mit b = f(a). Nach Voraussetzung gilt ord(a) = p^{k} (k ∈ IN_{0}) und damit a^{p^{k}} = 1_{G}. Es folgt

1_{H} = f(1_{G}) = f(a^{p^{k}}) = f(a)^{p^{k}} = b^{p^{k}} .

Nach (4.20d) ist ord(b) ein Teiler von p^{k} und damit selbst eine Potenz von p.

c) “⟹” Sei H × K p-primär. Da die Projektionen p_{H} : H × K ⟶ H , p_{K} : H × K ⟶ K surjektive Gruppenhomomorphismen sind, folgt die Behauptung mit b) . “⟸” Sei (a, b) ∈ H × K ein beliebiges Element. Dann sind a ∈ H und b ∈ K. Da H und K beide p–primär sind, gibt es m, n ∈ IN_{0} mit

ord(a) = p^{m} , ord(b) = p^{n} .

Nach (5.11) ist

ord((a, b)) = kgV(ord(a), ord(b)) = kgV(p^{m}, p^{n}) = p^{max(m,n)}

eine p–Potenz, so daß die Gruppe H × K auch p–primär ist.

*53. Aufgabe: U ist eine Untergruppe von (G, ·) :

Seien A := ( \begin{matrix}1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , B := ( \begin{matrix}1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ U . Dann folgt

A · B = ( \begin{matrix}1 & x + x′ & y + xz′ + y′ \\ 0 & 1 & z + z′ \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ U und A^{−1} = ( \begin{matrix}1 & −x & xz − y \\ 0 & 1 & −z \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ U .

Außerdem gilt für die Einheitsmatrix E ∈ U . Damit gilt \underline{\underline{U ≤ G}}. Die Elemente x, y und z einer Matrix A ∈ U können unabhängig voneinander die p Elemente von ZZ_{p} durchlaufen, so daß folgt

\underline{\underline{| U |}} = p · p · p = \underline{\underline{p^{3}}}

Wir bestimmen nun die Ordnung von G = GL_{3}(ZZ_{p}) . Eine (3×3)–Matrix A über ZZ_{p} ist genau dann invertierbar, wenn ihre drei Spalten s_{1}, s_{2}, s_{3} ∈ ZZ_{p}^{3} linear unabhängig über ZZ_{p} sind. Als erste Spalte von A können wir daher jede Spalte ≠ 0 aus ZZ_{p}^{3} wählen, d.h. für s_{1} gibt es

| ZZ_{p}^{3} \ {0} | = p^{3} − 1

Möglichkeiten. Die zweite Spalte s_{2} ∈ ZZ_{p}^{3} muß jetzt so gewählt werden, daß {s_{1}, s_{2}} linear unabhängig ist, d.h. s_{2} darf kein skalares Vielfaches von s_{1} sein: s_{2} ∈ ZZ_{p}^{3} \ ZZ_{p}s_{1} . Für s_{2} gibt es also

| ZZ_{p}^{3} \ ZZ_{p}s_{1} | = p^{3} − p

Möglichkeiten. Wenn {s_{1}, s_{2}} linear unabhängig ist, so ist {s_{1}, s_{2}, s_{3}} genau dann linear unabhängig, wenn s_{3} nicht in der linearen Hülle L von s_{1} und s_{2} liegt. L ist ein 2–dimensionaler ZZ_{p}–Vektorraum, also isomorph zu ZZ_{p}^{2} . Daher gilt |L| = p^{2} , und die Anzahl der Möglichkeiten für s_{3} ist

| ZZ_{p}^{3} \ L | = p^{3} − p^{2} .

Daher gibt es genau (p^{3} − 1)(p^{3} − p)(p^{3} − p^{2}) Möglichkeiten, 3 linear unabhängige Spalten aus ZZ_{p}^{3} auszuwählen, d.h.

\underline{\underline{| G | = (p^{3} − 1)(p^{3} − p)(p^{3} − p^{2})}} .

Nun gilt

(p^{3} − 1)(p^{3} − p)(p^{3} − p^{2}) = (p^{3} − 1)p(p^{2} − 1)p^{2}(p − 1) = p^{3} · a ,

wobei p die Zahl a := (p^{3} − 1)(p^{2} − 1)(p − 1) nicht teilen kann (sonst müßte p eine der Zahlen p^{3} − 1 , p^{2} − 1 oder p − 1 teilen und damit auch 1) . Folglich ist p^{3} die höchste p–Potenz, die die Ordnung von G teilt, so daß jede Untergruppe von G, die die Ordnung p^{3} hat, eine p–Sylowuntergruppe von G ist. Insbesondere ist also U eine p–Sylowuntergruppe von G.