Chr.Nelius : Grundzüge der Algebra (WS 2005/06)

11. Übungsblatt

Anmerkungen und Musterlösungen

Aufgabe 44 a) In den Übungsgruppen wurde bewiesen: Für einen Gruppenhomomorphismus f : G ⟶ H gilt

f^{−1}(f(U)) = U · Kern(f) (∀ U ≤ G) , f(f^{−1}(V)) = V ∩ Bild(f) (∀ V ≤ H)

Ist f surjektiv, so wird durch die Vorschrift U ⟼ f(U) eine bijektive Abbildung

α : { U | Kern(f) ⊆ U ≤ G } ⟶ { V | V ≤ H }

definiert. Wendet man dieses Ergebnis auf den natürlichen Gruppenhomomorphismus ν : G ⟶ G/N an, so folgt, da ν surjektiv ist und Kern(ν) = N gilt, daß ν eine bijektive Abbildung

α : { U | Kern(ν) ⊆ U ≤ G } ⟶ { V | V ≤ G/N }

definiert. Die Zuordnungsvorschrift lautet U ⟼ ν(U) = { [a]_{n}| a ∈ U } = U/V . Zu jeder Untergruppe V von G/N gibt es also genau eine Untergruppe U von G mit N ⊆ U und V = U/N .

b) Nach a) ist jede Untergruppe V von ZZ_{12} von der Form V = U/ZZ12 mit ZZ12 ⊆ U . Nun gilt U = ZZn für ein geeignetes n ∈ IN_{0} und ZZ12 ⊆ ZZn ⟺ n | 12 . Die Menge der positiven Teiler von 12 ist {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Folglich gibt es in ZZ_{12} genau die 6 Untergruppen

ZZ1/ZZ12 = ZZ_{12}, ZZ2/ZZ12, ZZ3/ZZ12, ZZ4/ZZ12, ZZ6/ZZ12, ZZ12/ZZ12 = {0}

c) Wegen m | n gilt ZZn ⊆ ZZm. Es ist ZZm/ZZn ⊆ ZZ_{n} = {[0]_{n}, [1]_{n}, …, [n − 1]_{n}}, also

ZZm/ZZn = { [km]_{n} | k ∈ IN_{0}, 0 ≤ km < n }

Wegen 0 ≤ km < n ⟺ 0 ≤ k < \frac{n}{m} gibt es genau \frac{n}{m} Nebenklassen von Elementen aus ZZm nach ZZn (beachte \frac{n}{m} ∈ IN!!) , d.h.

(ZZm : ZZn) = \frac{n}{m} .

45. Aufgabe: Die Kongruenzrelation modulo n auf ZZ ist nach a) reflexiv, nach b) symmetrisch und nach c) transitiv , insgesamt also eine Äquivalenzrelation auf ZZ .

e) besagt, daß die Nebenklasse [a]_{n} von a ∈ ZZ nach dem Normalteiler ZZn gleich der Menge aller ganzen Zahlen ist, die bei Division durch n denselben Rest wie a haben. Daher nennt man [a]_{n} auch die Restklasse von a modulo n. f) Dies ist der sog. Chinesische Restsatz \underline{1. Beweis:} In (9.4) wird gezeigt, daß die Abbildung

f^{⋆} : ZZ_{mn} ⟶ ZZ_{m} × ZZ_{n} , [a]_{mn} ⟼ ([a]_{m}, [a]_{n})

ein Gruppenisomorphismus ist. Die Surjektivität von f^{⋆} liefert daher die Existenz einer simultanen Lösung von (⋆) , und die Injektivität die Eindeutigkeit (modulo mn). \underline{2. Beweis:} Es wird eine Lösung explizit angegeben. Da m und n teilerfremd sind, gibt es x, y ∈ ZZ mit xm + yn = 1 . Definiere

x_{0} := bxm + ayn

Dann ist x_{0} ∈ ZZ und es folgt

\begin{matrix}x_{0} ≡ ayn (mod m) \\ axm + ayn = a ⟹ ayn ≡ a (mod m) \end{matrix} \} ⟹ x_{0} ≡ a (mod m)

Analog beweist man x_{0} ≡ b (mod n). Damit ist x_{0} eine Lösung von (⋆) . Ist x_{1} eine weitere Lösung von (⋆) , so folgt

\begin{matrix}x_{0} ≡ x_{1} (mod m) \\ x_{0} ≡ x_{1} (mod n) \end{matrix} ,

woraus sich wegen ggT(m, n) = 1 ergibt:

x_{0} ≡ x_{1} (mod m · n) .

46. Aufgabe: Ein Gruppenisomorphismus G ⟶ G einer Gruppe G auf sich heißt auch ein Gruppenautomorphismus . Der spezielle Gruppenautomorphismus τ_{a} : G ⟶ G (a ∈ G) wird als innerer Gruppenautomorphismus von G bezeichnet.

47. Aufgabe: b) Z(GL_{2}(IR)) = { rE | r ∈ IR^{⋆} } (Dabei ist E die (2 × 2)–Einheitsmatrix) . Achtung!! Die Nullmatrix gehört nicht zu GL_{2}(IR) .

48*. Aufgabe: a) UN ≤ G gilt nach Aufg. 40a) .

b) Klar ist N ≤ UN . Da N Normalteiler in G ist, ist N auch Normalteiler in UN .

c) Sei μ := ν | U : U ⟶ UN/N , a ⟼ [a]_{N} die Einschränkung des natürlichen Homomorphismus ν : G ⟶ G/N auf U . Dann ist μ ist ein Gruppenhomomorphismus mit

Kern(μ) = Kern(ν | U) = U ∩ Kern(ν) = U ∩ N

Als Kern eines Gruppenhomomorphismus ist U ∩ N Normalteiler in U . d) Dieses Ergebnis wird in der Literatur häufig als 1. Isomorphiesatz bezeichnet.

Der Homomorphismus μ aus c) ist surjektiv. Nach dem Homomorphiesatz (8.12) induziert μ einen Isomorphismus

μ^{⋆} : U/Kern(μ) = U/U ∩ N ⟶^{≅} UN/N , [a]_{U∩N} ⟼ [a]_{N} (a ∈ U)

e) Seien m, n ∈ IN . Wende d) auf die Untergruppen U := ZZm und N := ZZn von (ZZ, +) an. Man erhält

ZZm/ZZm ∩ ZZn ≅ ZZm + ZZn/ZZn .

Nach dem Beweis von (3.6) ist ZZm + ZZn = ZZg mit g = ggT(m, n) , und nach dem Beweis von (3.13) ist ZZm ∩ ZZn = ZZk mit k = kgV(m, n) . Also gilt ZZm/ZZk ≅ ZZg/ZZn, woraus sich

| ZZm/ZZk | = | ZZg/ZZn |

ergibt, d.h.

(ZZm : ZZk) = (ZZg : ZZn) .

Mit Aufg. 44c) folgt \frac{k}{m} = \frac{n}{g} , d.h. g · k = m · n , womit (3.14) noch einmal für natürliche

Zahlen bewiesen worden ist:

ggT(m, n) · kgV(m, n) = m · n