1. Übungsblatt

GRUNDZÜGE DER ALGEBRA (WS 2005/06)

Musterlösung für Aufgabe 4

4. Aufgabe: Nach Definition (1.3) ist zu zeigen:

\begin{matrix}1) & ∀ a ∈ G : a ⋆ e = a \\ 2) & b ⋆ a = e ⟹ a ⋆ b = e \end{matrix}

\underline{\underline{Zu 2)}}

Sei a ∈ G beliebig. Dann existiert nach Voraussetzung ii) ein b ∈ G mit \underline{b ⋆ a = e}. Verknüpft man beide Seiten dieser Gleichung mit b von rechts, so ergibt sich

(b ⋆ a) ⋆ b = e ⋆ b =^{i)} b .

Da ⋆ assoziativ ist, folgt

iii) b ⋆ (a ⋆ b) = b .

Zu b ∈ G gibt es nach ii) ein c ∈ G mit \underline{c ⋆ b = e}. Unter Berücksichtigung der Assoziativität von ⋆ ergibt sich

\underline{\underline{e}} = c ⋆ b =^{iii)} c ⋆ (b ⋆ (a ⋆ b)) = (c ⋆ b) ⋆ (a ⋆ b) = e ⋆ (a ⋆ b) =^{i)} \underline{\underline{a ⋆ b}} .

\underline{\underline{Zu 1)}}

Sei a ∈ G beliebig. Nach 2) existiert ein b ∈ G mit

a ⋆ b = e = b ⋆ a .

Es folgt

\underline{\underline{a ⋆ e}} = a ⋆ (b ⋆ a) = (a ⋆ b) ⋆ a = e ⋆ a =^{i)} \underline{\underline{a}} .

Bemerkung: Eine Gruppe (G, ⋆) ist nach Def. (1.3) eine Menge G mit einer assoziativen Verknüpfung ⋆, so daß gilt:

a) Es gibt in G ein bzgl. ⋆ neutrales Element,

b) Jedes Element aus G ist invertierbar bzgl. ⋆.

Aufgabe 4. zeigt nun, daß eine Menge G mit einer assoziativen Verknüpfung ⋆ genau dann eine Gruppe ist, wenn die folgenden abgeschwächten Bedingungen erfüllt sind:

a) Es gibt in G ein bzgl. ⋆ linksneutrales Element,

b) Jedes Element aus G ist linksinvertierbar bzgl. ⋆.