Zum Beweis von (23.19) müssen wir zuerst noch einige Hilfsmittel bereitstellen.

\underline{(23.20) HILFSSATZ:} Seien M, N ∈ M_{n}(K) \underline{ähnliche} Matrizen. Dann gilt für jedes Polynom p ∈ K[T]:

a) p(M) ≈ p(N)

b) p(M) = O ⟺ p(N) = O.

\underline{Bew:} Es gibt P ∈ GL_{n}(K) mit M = P · N · P^{−1} .

a) Sei p = ∑_{i=0}^{m} α_{i}T^{i}. Dann gilt

p(M) = p(P NP^{−1}) = ∑_{i=0}^{m} α_{i}(P NP^{−1})^{i} = ∑_{i=0}^{m} α_{i}P N^{i}P^{−1} = P · (∑_{i=0}^{m} α_{i}N^{i}) · P^{−1} = P · p(N) · P^{−1}

Also p(M) ≈ p(N) .

b) Aus O = p(M) ≈ p(N) folgt p(N) = O und umgekehrt.

\underline{(23.21) FOLG:} Ähnliche Matrizen haben dasselbe Minimalpolynom.

\underline{Bew:} Gelte M ≈ N . Das Minimalpolynom q_{M} von M ist das normierte Polynom kleinsten Grades, das M annulliert. Mit (23.20b) gilt q_{M}(M) = O ⟹ q_{M}(N) = O, so daß q_{N} | q_{M} nach (23.16b) gilt. Entsprechend folgt q_{M} | q_{N} aus q_{N}(M) = q_{N}(N) = O. Da die Polynome sich gegenseitig teilen und normiert sind, folgt q_{M} = q_{N} .

\underline{(23.22) HILFSSATZ:} Sei M ∈ M_{n}(K) eine trigonalisierbare Matrix mit dem charakteris-

tischen Polynom p_{M} = ∏_{i=1}^{s}(λ_{i} − T)^{n_{i}}, wobei λ_{1}, …, λ_{s} die paarweise verschiedenen Eigenwerte

von M sind. Dann gilt

M ≈ Diag(J̃_{1}, …, J̃_{s})

mit J̃_{i} = λ_{i}E_{n_{i}} + N_{i} (i = 1, …, s) , wobei N_{i} ∈ M_{n_{i}}(K) eine strikt obere Dreiecksmatrix (und damit nilpotent) ist. \underline{Bew:} Fassen wir in der Jordan–Normalform von M alle Jordan–Blöcke zusammen, die zu demselben Eigenwert λ_{i} gehören, so erhalten wir eine obere Dreiecksmatrix J̃_{i} vom Format n_{i} × n_{i}, bei der der Eigenwert λ_{i} in der Hauptdiagonale seht. Wir können dann J̃_{i} in der Form J̃_{i} = λ_{i}E_{n_{i}} + N_{i} (i = 1, …, s) darstellen, wobei N_{i} ∈ M_{n_{i}}(K) eine strikt obere Dreiecksmatrix ist. Da die Ähnlichkeitsbeziehung beim Umordnen der Blöcke der Hauptdiagonale erhalten bleibt, wie die folgende Übungsaufgabe zeigt, ist die Behauptung damit bewiesen.

\underline{Aufgabe:} Seien M ∈ M_{m}(K) , N ∈ M_{n}(K) und D := Diag(M, N) ∈ M_{m+n}(K) . Ferner sei V die Blockmatrix

V := = ( \begin{matrix}O & E_{n} \\ E_{m} & O \end{matrix} ) ∈ M_{m+n}(K)

Beweise: V DV^{−1} = Diag(N, M) , d.h. Diag(M, N) ≈ Diag(N, M) . Wie läßt sich dieses Ergebnis auf eine Blockdiagonalmatrix aus s ≥ 2 quadratischen Matrizen verallgemeinern?

\underline{(23.23) HILFSSATZ:} Seien M ∈ M_{n}(K) und p ∈ K[T] . Dann gilt:

a) Ist M eine (strikt) obere Dreiecksmatrix, so ist auch p(M) eine (strikt) obere Dreiecksmatrix.

b) M trigonalisierbar ⟹ p(M) trigonalisierbar .

c) Ist M eine Diagonalmatrix, so ist auch p(M) eine Diagonalmatrix.

d) M diagonalisierbar ⟹ p(M) diagonalisierbar .

\underline{Bew:} a) , c) Sei p = ∑_{i=0}^{m} α_{i}T^{i}. Dann ist p(M) = ∑_{i=0}^{m} α_{i}M^{i} als Linearkombination von

(strikt) oberen Dreiecksmatrizen (bzw. Diagonalmatrizen) selbst eine (strikt) obere Dreiecksmatrix (bzw. Diagonalmatrix) .

b) , d) Gilt M ≈ D wobei D eine obere Dreiecksmatrix bzw. eine Diagonalmatrix ist, so folgt p(M) ≈ p(D) nach (23.20a), woraus nach a) bzw. c) die Behauptung folgt.

\underline{(23.24) HILFSSATZ:} Sei M ∈ M_{n}(K) eine trigonalisierbare Matrix mit dem charakteris-

tischen Polynom p_{M} = ∏_{i=1}^{s}(λ_{i} − T)^{n_{i}}, wobei λ_{1}, …, λ_{s} die paarweise verschiedenen Eigenwerte

von M sind. Ferner sei h := ∏_{i=1}^{s}(T − λ_{i}) ∈ K[T] .

Dann ist h(M) eine nilpotente Matrix.

\underline{Bew:} Nach (23.22) gilt M ≈ Diag(J̃_{1}, …, J̃_{s}) =: D mit J̃_{i} = λ_{i}E_{n_{i}} + N_{i} (i = 1, …, s) , wobei N_{i} ∈ M_{n_{i}}(K) eine strikt obere Dreiecksmatrix (und damit nilpotent) ist. Insbesondere ist D eine obere Dreiecksmatrix. Es folgt

h(M) ≈ h(D) = Diag(h(J̃_{1}), …, h(J̃_{s})) =: D̃

J̃_{k} ist eine obere Dreiecksmatrix mit λ_{k} als Eigenwert. Dann ist h(λ_{k}) Eigenwert der oberen Dreiecksmatrix h(J̃_{k}) (s. Aufgabe 54) , d.h.

h(J̃_{k}) = h(λ_{k})E + N′_{k} (N′_{k} strikt obere Dreiecksmatrix

Wegen h(λ_{k}) = 0 ist also h(J̃_{k}) eine strikt obere Dreiecksmatrix. Damit ist dann aber D̃ als Blockdiagonalmatrix aus strikt oberen Dreiecksmatrizen selbst eine strikt obere Dreiecksmatrix und damit nilpotent. Jede zu einer nilpotenten Matrix ähnlche Matrix ist aber selbst wieder nilpotent, womit dann auch h(M) nilpotent ist.

Wir kommen nun zu dem Beweis von (23.19):

\underline{a) ⟹ b)}

M sei diagonalisierbar, p_{M} = ∏_{i=1}^{s}(λ_{i} −T)^{n_{i}}, wobei λ_{1}, …, λ_{s} die paarweise verschiedenen Eigen-

werte von M sind. Ferner sei h := ∏_{i=1}^{s}(T − λ_{i}) ∈ K[T]

h(M) ist nach (23.23) diagonalisierbar und nach (23.24) nilpotent. Nun ist aber jede Matrix, die zugleich diagonalisierbar und nilpotent ist, die Nullmatrix. Aus h(M) = O folgt nach (23.16b)

q_{M} | h

Nach (23.18b) gilt auch umgekehrt

h | q_{M}

Da h und q_{M} normierte Polynome sind, folgt hieraus

q_{M} = h ,

so daß q_{M} nur einfache Nullstellen hat.

\underline{b) ⟹ a)}

Nach (23.18) ist q_{M} = ∏_{i=1}^{s}(T − λ_{i}) , wobei λ_{1}, …, λ_{s} die paarweise verschiedenen Eigenwerte

von M sind. Nach (23.22) gilt

M ≈ Diag(J̃_{1}, …, J̃_{s})

mit J̃_{i} = λ_{i}E_{n_{i}} + N_{i} (i = 1, …, s) , wobei N_{i} ∈ M_{n_{i}}(K) eine strikt obere Dreiecksmatrix (und damit nilpotent) ist. Daraus ergibt sich mit (23.20) und (23.13g)

O = q_{M}(M) ≈ Diag(q_{M}(J̃_{1}), …, q_{M}(J̃_{s}))

Damit ist q_{M}(J̃_{k}) = O für alle k = 1, …, s, und es folgt

O = q_{M}(J̃_{k}) = (J̃_{k} − λ_{1}E) · . . . · (\underbrace{J̃_{k} − λ_{k}E}_{=N_{k}}) · . . . · (J̃_{k} − λ_{s}E) = \underbrace{(∏_{i≠k}(J̃_{k} − λ_{i}E))}_{=:P} · N_{k}

Für i ≠ k und damit λ_{i} ≠ λ_{k} ist die Matrix

J̃_{k} − λ_{i}E = λ_{k}E + N_{k} − λ_{i}E = (λ_{k} − λ_{i})E + N_{k} = ( \begin{matrix}λ_{k} − λ_{i} & & & & ⋆ \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{k} − λ_{i} \end{matrix} )

invertierbar (ihre Determinante ist ≠ 0), folglich ist auch P als Produkt invertierbarer Matrizen invertierbar. Aus P · N_{k} = O folgt daher N_{k} = O für alle k = 1, …, s. Damit ist

J̃_{k} = λ_{k}E

für alle k eine Diagonalmatrix, und dasselbe gilt dann auch für Diag(J̃_{1}, …, J̃_{s}) . Infolgedessen ist M zu einer Diagonalmatrix ähnlich, also diagonalisierbar.