§23. Die Jordan’sche Normalform

Wir suchen für einen trigonalisierbaren Endomorphismus unter seinen dreiecksförmigen Darstellungsmatrizen eine Darstellungsmatrix, die in einem gewissen Sinne eindeutig bestimmt ist. Dies ist die sog. Jordan’sche Normalform dieses Endomorphismus, die sich auch durch eine besonders einfache Bauart auszeichnet.

V sei ein K–Vektorraum und f ∈ End_{K}(V). Ist dann U ⊆ V ein f–invarianter Unterraum von V, so gilt f(U) ⊆ U , so daß f durch Einschränkung auf U eine K–lineare Abbildung f|U : U ⟶ U , u ⟼ f(u) ∈ U definiert.

\underline{(23.1) SATZ:} V sei ein n–dimensionaler K–Vektorraum und f ∈ End_{K}(V) . U_{1}, …, U_{s} seien f–invariante Untervektorräume von V mit dim_{K}(U_{i}) = n_{i} und Basen B_{i} ⊆ U_{i} (i = 1, …, s) .

Ist dann V die direkte Summe der Untervektorräume U_{i}, so ist B := ⋃_{i=1}^{s} B_{i} eine Basis von V,

bzgl. der f die Darstellungsmatrix

M_{B}^{B}(f) = ( \begin{matrix}M_{1} & & & & & O \\ & M_{2} \\ & & . & . & . \\ O & & & & & M_{s} \end{matrix} ) ∈ M_{n}(K)

hat. Dabei gilt:

a) M_{i} = M_{B_{i}}^{B_{i}}(f|U_{i}) ∈ M_{n_{i}}(K) für alle i = 1, …, s

b) p_{f} = ∏_{i=1}^{s} p_{f|U_{i}}

\underline{BEM:} M_{B}^{B}(f) ist in dem obigen Satz eine sog. Blockdiagonalmatrix, die wir auch mit Diag(M_{1}, M_{2}, …, M_{s}) bezeichnen werden.

Strategie: Zerlege V in eine direkte Summe von f–invarianten Untervektorräumen U_{i}, die sich selbst nicht weiter zerlegen lassen. Dann hat f|U_{i} bzgl. einer geeigneten Basis als Darstellungsmatrix eine besonders einfach gebaute Matrix, eine sog. Jordan-Matrix.

\underline{(23.2) DEF:} V sei ein K–Vektorraum und f ∈ End_{K}(V). V heißt unzerlegbar bzgl. f, wenn gilt:

i) V ≠ 0 ii) V ist nicht direkte Summe zweier f–invarianter Unterräume ≠ 0 von V.

\underline{BEM:} ii) bedeutet: Ist V = U_{1} ⊕ U_{2}, wobei U_{1} und U_{2} f–invariante Unterräume sind, so folgt U_{1} = 0 oder U_{2} = 0.

\underline{Beispiele:} a) Im Falle dim_{K}(V) = 1 ist V unzerlegbar bzgl. f .

b) Ein weiteres Beispiel für einen unzerlegbaren Vektorraum findet man in Aufg. 66 .

\underline{(23.3) SATZ:} V sei ein n–dimensionaler K–Vektorraum und f ∈ End_{K}(V) . Dann gibt es f–invariante Untervektorräume U_{1}, …, U_{s} von V, so daß gilt:

a) V = ⨁_{i=1}^{s} U_{i}

b) U_{i} ist unzerlegbar bzgl. f|U_{i} für alle i = 1, …, s.

\underline{(23.4) HILFSSATZ:} Sei f ∈ End_{K}(V) . Dann gilt:

a) O ⊆ Kern(f) ⊆ Kern(f^{2}) ⊆ Kern(f^{3}) ⊆ … ⊆ V (Kernfolge)

V ⊇ Bild(f) ⊇ Bild(f^{2}) ⊇ Bild(f^{3}) ⊇ … ⊇ O (Bildfolge)

b) Ist V endlichdimensional, so gibt es r, s ∈ IN mit Kern(f^{k}) = Kern(f^{r}) (∀ k ≥ r) und Bild(f^{l}) = Bild(f^{s}) (∀ l ≥ s)

\underline{(23.5) LEMMA:} V sei ein endlichdimensionaler K–Vektorraum, und f sei ein K–Endomorphismus von V. Es gelte f^{n} = o für ein n ≥ 1 , und W sei ein direktes Komplement von Kern(f^{n−1}) in V (d.h. V = Kern(f^{n−1}) ⊕ W ) . Dann gilt:

a) Die Einschränkungen

W ⟶^{f} f(W) ⟶^{f} f^{2}(W) ⟶^{f} … ⟶^{f} f^{n−1}(W)

sind alle Isomorphismen.

b) Die Summe S_{W} := W + f(W) + f^{2}(W) + … + f^{n−1}(W) ist direkt, und S_{W} ist ein f– invarianter Untervektorraum von V .

c) S_{W} besitzt ein f–invariantes Komplement in V .

\underline{(23.6) SATZ:} Sei V ein K–Vektorraum und f ∈ End_{K}(V). Ist dann V unzerlegbar bzgl. f und gilt f^{n} = o und f^{n−1} ≠ o, so folgt:

a) dim_{K}(V) = n

b) Es gibt eine Basis B von V mit

M_{B}^{B}(f) = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & … & … & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & ... & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & & & 0 & 1 & 0 \\ ⋮ & & & & 0 & 1 \\ 0 & … & … & … & … & 0 \end{matrix} ) =: J_{n} ∈ M_{n}(K)

\underline{Bew:} a) Sei W ein direktes Komplement von Kern(f^{n−1}) in V . Wegen f^{n−1} ≠ o ist Kern(f^{n−1}) ≠ V, also \underline{W ≠ O}. Nach (23.5b) ist

S_{W} = W ⊕ f(W) ⊕ f^{2}(W) ⊕ … ⊕ f^{n−1}(W)

ein f–invarianter Unterraum von V , zu dem es nach (23.5c) ein f–invariantes Komplement V′ in V gibt:

V = S_{W} ⊕ V′ .

Nach Voraussetzung ist V unzerlegbar bzgl. f . Da S_{W} ≠ O wegen W ≠ O gilt, folgt also V′ = O und damit

(⋆) V = S_{W} = W ⊕ f(W) ⊕ f^{2}(W) ⊕ … ⊕ f^{n−1}(W)

Es soll nun gezeigt werden, daß dim_{K}(W) = 1 ist. Dazu führen wir einen indirekten Beweis: Annahme: dim_{K}(W) ≥ 2 Dann ist W die direkte Summe zweier Unterräume W′ und W′′, die beide ≠ O sind. Mit (23.5a) ergibt sich S_{W} = (W′ ⊕ W′′) ⊕ (f(W′) ⊕ f(W′′)) ⊕ (f^{2}(W′) ⊕ f^{2}(W′′)) ⊕ … ⊕ (f^{n−1}(W′) ⊕ f^{n−1}(W′′)) = [ W′ ⊕ f(W′) ⊕ f^{2}(W′) ⊕ … ⊕ f^{n−1}(W′) ] ⊕ [ W′′ ⊕ f(W′′) ⊕ f^{2}(W′′) ⊕ … ⊕ f^{n−1}(W′′) ] = S_{W′} ⊕ S_{W′′} Also V = S_{W′} ⊕ S_{W′′}. Da beide Unterräume nach (23.5b) f–invariant sind, folgt S_{W′} = O oder S_{W′′} = O und daraus W′ = O oder W′′ = O. Widerspruch! . Also \underline{dim_{K}(W) = 1} . Wegen W ≅ f(W) ≅ f^{2}(W) ≅ … ≅ f^{n−1}(W) nach (23.5a) gilt dann auch dim_{K}(f^{i}(W)) = 1 für alle i = 0, 1, …, n − 1, so daß sich aus (⋆) mit (13.15b) ergibt

\underline{dim_{K}(V)} = ∑_{i=0}^{n−1} dim_{K}(f^{i}(W)) = n · 1 = \underline{n}

b) Nach Voraussetzung gibt es ein v ∈ V mit f^{n−1}(v) ≠ o_{V} . Dann ist nach Aufgabe 63b) die Menge {v, f(v), f^{2}(v), …, f^{n−1}(v)} linear unabhängig und damit sogar eine Basis von V , da dim_{K}(V) = n. Setze:

B := (\underbrace{f^{n−1}(v)}_{=:v_{1}}, \underbrace{f^{n−2}(v)}_{=:v_{2}}, …, \underbrace{f(v)}_{=:v_{n−1}}, \underbrace{v}_{=:v_{n}})

Damit ergibt sich f(v_{1}) = f(f^{n−1}(v)) = f^{n}(v) = o_{V} f(v_{2}) = f(f^{n−2}(v)) = f^{n−1}(v) = v_{1} ⋮ f(v_{n}) = f(v) = v_{n−1} . Die Darstellungsmatrix von f bzgl. dieser Basis ist also

M_{B}^{B}(f) = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & … & … & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & ... & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & & & 0 & 1 & 0 \\ ⋮ & & & & 0 & 1 \\ 0 & … & … & … & … & 0 \end{matrix} ) =: J_{n} ∈ M_{n}(K)

\underline{(23.7) FOLG:} Sei dim_{K}(V) = n , f ∈ End_{K}(V) , V sei unzerlegbar bzgl. f. Ist dann f nilpotent, so gilt f^{n} = o und f^{n−1} ≠ o.

\underline{Bew:} Sei m := min\{ l | l ∈ IN, f^{l} = o \}. Dann gilt m ∈ IN, f^{m} = o und f^{m−1} ≠ o. Mit (23.6a) folgt m = dim_{K}(V) = n, womit die Behauptung bewiesen ist.

(23.8) Fitting–Lemma

V sei ein endlichdimensionaler K–Vektorraum, und f sei ein K–Endomorphismus von V. Ist dann V unzerlegbar bzgl. f, so ist jeder Endomorphismus g ∈ End_{K}(V), für den f ∘ g = g ∘ f gilt, entweder bijektiv oder nilpotent. Insbesondere ist f selbst entweder bijektiv oder nilpotent.

\underline{Bew:} Seien B_{l} := Bild(g^{l}) und K_{l} := Kern(g^{l}) für l ∈ IN . Um zu zeigen, daß dies f–invariante Unterräume von V sind, wird die Voraussetzung f ∘ g = g ∘ f benötigt. Induktiv folgt daraus f ∘ g^{l} = g^{l} ∘ f für alle l ∈ IN .

v ∈ B_{l} ⟹ v = g^{l}(w) (w ∈ V) ⟹ f(v) = f(g^{l}(w)) = g^{l}(f(w)) ∈ B_{l} , d.h. f(B_{l}) ⊆ B_{l}

v ∈ K_{l} ⟹ g^{l}(v) = o_{V} ⟹ o_{V} = f(g^{l}(v)) = g^{l}(f(v)) ⟹ f(v) ∈ Keg^{l} , also f(K_{l}) ⊆ K_{l}.

Nach (23.4b) werden die Folgen (B_{l}) und (K_{l}) stationär, so daß es ein n ∈ IN gibt mit B_{l} = B_{n} und K_{l} = K_{n} für alle l ≥ n. Wir behaupten

(⋆) V = B_{n} ⊕ K_{n}

Da V unzerlegbar bzgl. f ist und da B_{n} und K_{n} f–invariante Unterräume von V sind, muß einer dieser beiden Unterräume O sein:

1. Fall: B_{n} = O ⟹ Bild(g^{n}) = O ⟹ g^{n} = o, d.h. g ist nilpotent.

2. Fall: K_{n} = O ⟹ g^{n} ist injektiv ⟹ g^{n} ist ein Isomorphismus ⟹ g ist ein Isomorphismus .

Bleibt also noch (⋆) zu zeigen. Sei v ∈ V beliebig. Wegen B_{n} = B_{2n} existiert w ∈ V mit g^{n}(v) = g^{2n}(w) ⟹

v = \underbrace{g^{n}(w)}_{∈B_{n}} +(\underbrace{v − g^{n}(w)}_{∈K_{n}}) ∈ B_{n} + K_{n}

denn es ist g^{n}(v − g^{n}(w)) = g^{n}(v) − g^{2n}(w) = g^{n}(v) − g^{n}(v) = o_{V} . Aus V ⊆ B_{n} + K_{n} ⊆ V folgt \underline{V = B_{n} + K_{n}}.

v ∈ B_{n} ∩ K_{n} ⟹ v = g^{n}(w) mit w ∈ V und o_{V} = g^{n}(v) = g^{2n}(w) ⟹ w ∈ K_{2n} = K_{n} ⟹ o_{V} = g^{n}(w) = v ⟹ \underline{B_{n} ∩ K_{n} = O}.

Damit ist (⋆) bewiesen.

\underline{(23.9) SATZ:} V sei ein n–dimensionaler K–Vektorraum. Der K–Endomorphismus f : V ⟶ V besitze einen Eigenwert λ ∈ K. Ist dann V unzerlegbar bzgl. f, so gibt es eine Basis B von V mit

M_{B}^{B}(f) = ( \begin{matrix}λ & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & & ... & 1 \\ 0 & … & … & λ \end{matrix} ) = J_{n}(λ) ∈ M_{n}(K) .

J_{n}(λ) heißt (n × n)–Jordan-Matrix (oder Jordan–Block) zum Eigenwert λ von f.

\underline{Bew:} Sei g := f − λ id_{V} . Dann ist g ∈ End_{K}(V) , und es gilt

g ∘ f = (f − λ id_{V}) ∘ f = f ∘ f − λ f = f ∘ (f − λ id_{V}) = f ∘ g

Wegen Kern(g) = Kern(f − λ id_{V}) = Eig(f, λ) ≠ O ist g kein Isomorphismus. Nach dem Fitting–Lemma (23.8) ist g deshalb nilpotent . Da die f–invarianten Unterräume von V mit den g–invarianten Unterräume übereinstimmen, ist V auch unzerlegbar bzgl. g. Nach (23.7) gilt dann g^{n} = o und g^{n−1} ≠ o, so daß nach (23.6) eine Basis B von V existiert mit

M_{B}^{B}(g) = ( \begin{matrix}0 & 1 & & 0 \\ & ... & ... \\ & & ... & 1 \\ 0 & & & 0 \end{matrix} ) = J_{n}(0)

Folglich M_{B}^{B}(f) = M_{B}^{B}(g + λ id_{V}) = M_{B}^{B}(g) + M_{B}^{B}(λ id_{V}) =

( \begin{matrix}0 & 1 & & 0 \\ & ... & ... \\ & & ... & 1 \\ 0 & & & 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}λ & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & λ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}λ & 1 & & 0 \\ & ... & ... \\ & & ... & 1 \\ 0 & & & λ \end{matrix} ) = J_{n}(λ)

Mit Hilfe von (23.3) können wir jetzt den allgemeinen Fall behandeln:

(23.10) SATZ:

Jordan’sche Normalform (ca. 1870)

V sei ein n–dimensionaler K–Vektorraum. f ∈ End_{K}(V) sei trigonalisierbar. Dann gibt es eine Basis B von V, Zahlen n_{1}, n_{2}, …, n_{s} ∈ IN (1 ≤ s ≤ n) und Elemente λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{s} ∈ K, so daß gilt:

M_{B}^{B}(f) = ( \begin{matrix}J_{n_{1}}(λ_{1}) & & & & & 0 \\ & J_{n_{2}}(λ_{2}) \\ & & . & . & . \\ 0 & & & & & J_{n_{s}}(λ_{s}) \end{matrix} ) ∈ M_{n}(K)

Diese Matrix heißt die Jordan’sche Normalform (JNF) von f.

\underline{Bew:} Nach (23.3) gibt es f–invariante Unterräume U_{i} ⊆ V mit folgenden Eigenschaften: V = ⨁_{i=1}^{s} U_{i} , U_{i} ist unzerlegbar bzgl. f|U_{i} =: f_{i}

Aus (23.1b) folgt, daß p_{f_{i}} ein Teiler von p_{f} ist, also in Linearfaktoren zerfällt. f_{i} besitzt also mindestens einen Eigenwert λ_{i} ∈ K, der auch Eigenwert von f ist . Sei dim_{K}(U_{i}) =: n_{i}. Nach (23.9) gibt es eine Basis B_{i} von U_{i} mit

M_{B_{i}}^{B_{i}}(f_{i}) = J_{n_{i}}(λ_{i})

Nach (23.1) ist dann B := ⋃_{i=1}^{s} B_{i} eine Basis von V , bzgl. der gilt

M_{B}^{B}(f) = ( \begin{matrix}J_{n_{1}}(λ_{1}) & & & & & 0 \\ & J_{n_{2}}(λ_{2}) \\ & & . & . & . \\ 0 & & & & & J_{n_{s}}(λ_{s}) \end{matrix} ) ∈ M_{n}(K)

\underline{(23.11) BEM:} a) In der Hauptdiagonale der JNF von f stehen die Eigenwerte von f. λ_{1}, …, λ_{s} müssen nicht paarweise verschieden sein. Es ist s ≥ Anzahl der paarweise verschiedenen Eigenwerte von f.

b) Die JNF ist eindeutig bestimmt bis auf die Reihenfolge der Jordan–Blöcke.

c) Eine Diagonalmatrix ist eine JNF, bei der alle Jordan–Blöcke das Format (1 × 1) haben.

Jeder Endomorphismus (und jede Matrix) über C sind trigonalsierbar, daher: \underline{(23.12) FOLG:} a) Jeder C Endomorphismus f : V ⟶ V (dim_{C}(V) < ∞) besitzt eine JNF als Darstellungsmatrix bzgl. einer geeigneten Basis.

b) Jede Matrix M ∈ M_{n}(C) ist ähnlich zu einer JNF.

Es lassen sich Ergebnisse über Matrizen mit Hilfe der Jordan-Normalform beweisen. Dies wollen wir an einigen Beispielen zeigen. Eine trigonalisierbare Matrix M ist ähnlich zu einer Blockdiagonalmatrix, in deren Hauptdiagonale Jordan–Matrizen stehen. Für das Rechnen mit Blockdiagonalmatrizen gelten die folgenden Rechenregeln, die sich leicht verifizieren lassen:

\underline{(23.13) LEMMA:} Seien M = Diag(M_{1}, …, M_{s}) , N = Diag(N_{1}, …, N_{s}) ∈ M_{n}(K) Blockdiagonalmatrizen mit M_{i}, N_{i} ∈ M_{n_{i}}(K) (∀ i = 1, 2, …, s) . Dann gilt:

a) M ·^{+} N = Diag(M_{1} ·^{+} N_{1}, …, M_{s} ·^{+} N_{s})

b) ^{t}M = Diag(^{t}M_{1}, …,^{t}M_{s})

c) M_{i} ∈ GL_{n_{i}}(K) ∀ i = 1, …, s ⟹ M ∈ GL_{n}(K) und M^{−1} = Diag(M_{1}^{−1}, …, M_{s}^{−1})

d) M_{i} ≈ N_{i} (∀ 1, …, s) ⟹ M ≈ N

e) det(M) = det(M_{1}) · . . . · det(M_{s})

f) p_{M} = p_{M_{1}} · . . . · p_{M_{s}}

g) Für jedes Polynom p ∈ K[T] gilt p(M) = Diag(p(M_{1}), …, p(M_{s})) .

\underline{(23.14) SATZ:} Für eine Matrix M ∈ M_{n}(C) gilt M ≈ ^{t}M.

\underline{Bew:} Nach (23.12b) ist M ähnlich zu einer JNF, d.h.

M ≈ Diag(J_{n_{1}}(λ_{1}), …, J_{n_{s}}(λ_{s})) =: J

Ist P := ( \begin{matrix}0 & & 1 \\ & / \\ 1 & & 0 \end{matrix} ) ∈ M_{r}(K) , so gilt P · P = E_{r}, also P = P^{−1} . Man rechnet sofort nach:

P · J_{r}(λ) · P = ^{t}J_{r}(λ) , d.h. J_{r}(λ) ≈ ^{t}J_{r}(λ) . Mit (23.13d) folgt

M ≈ J = Diag(J_{n_{1}}(λ_{1}), …, J_{n_{s}}(λ_{s})) ≈ Diag(^{t}J_{n_{1}}(λ_{1}), …,^{t}J_{n_{s}}(λ_{s})) = ^{t}J

Aus M ≈ J folgt sofort ^{t}M ≈ ^{t}J , so daß sich mit dem obigen Ergebnis die Behauptung M ≈ ^{t}M ergibt.

(23.15) SATZ:

Satz von Cayley–Hamilton (für Matrizen)

Sei M ∈ M_{n}(K) und p_{M} ∈ K[T] das charakteristische Polynom von M. Dann gilt

p_{M}(M) = O ∈ M_{n}(K) (Nullmatrix).

\underline{Bew:} 1. Fall: M ist eine Jordan–Matrix, d.h.

M = J = J_{n}(λ) = ( \begin{matrix}λ & 1 & & 0 \\ & ... & ... \\ & & ... & 1 \\ 0 & & & λ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}λ & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & λ \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 & 1 & & 0 \\ & ... & ... \\ & & ... & 1 \\ 0 & & & 0 \end{matrix} ) = λE_{n} + N,

wobei N als strikt obere Dreiecksmatrix nilpotent ist und N^{n} = O gilt. Das charakteristische Polynom von J ist

p_{J} = (λ − T)^{n} .

Hieraus folgt

p_{J}(J) = (λE_{n} − J)^{n} = (−N)^{n} = (−1)^{n}N^{n} = O .

2. Fall: M ist trigonalisierbar.

Dann gibt es Jordan–Matrizen J_{i} = J_{n_{i}}(λ_{i}) mit der Eigenschaft

M ≈ Diag(J_{1}, …, J_{s}) =: J .

Nach (23.13f) gilt

p_{J} = p_{J_{1}} · . . . · p_{J_{s}} ,

so daß für alle i = 1, …, s unter Benutzung des Ergebnisses aus dem ersten Fall

p_{J}(J_{i}) = p_{J_{1}}(J_{i}) · . . . · \underbrace{p_{J_{i}}(J_{i})}_{=O} · . . . · p_{J_{s}}(J_{i}) = O

folgt. Mit (23.13g) erhält man

p_{J}(J) = Diag(p_{J}(J_{1}), …, p_{J}(J_{s})) = Diag(O, …, O) = O .

Es läßt sich leicht zeigen: Für Matrizen A, B ∈ M_{n}(K) und ein Polynom p ∈ K[T] gilt: A ≈ B ⟹ p(A) ≈ p(B) . Wendet man dies auf M ≈ J an und berücksichtigt, daß ähnliche Matrizen dasselbe charakteristische Polynom haben, so ergibt sich

p_{M}(M) ≈ p_{M}(J) = p_{J}(J) = O

Eine Matrix, die ähnlich zur Nullmatrix ist, ist selbst die Nullmatrix. Folglich

p_{M}(M) = O .

3. Fall: Sei jetzt M ∈ M_{n}(K) beliebig.

In der Algebra–Vorlesung wird gezeigt, daß es einen K umfassenden Körper L gibt, über dem jedes Polynom in Linearfaktoren zerfällt. L heißt algebraischer Abschluß von K (wir kennen IR ⊆ C als konkretes Beispiel für diese Aussage). Dann gilt M ∈ M_{n}(L) und p_{M} ∈ L[T] zerfällt in Linearfaktoren, so daß M als Matrix über dem Körper L trigonalisierbar ist. Nach dem zweiten Fall gilt

p_{M}(M) = O .

Damit ist der Beweis beendet.

Sei nun M ∈ M_{n}(K) eine beliebige Matrix. Dann gibt es Polynome p ∈ K[T] mit p(M) = O (z.B. p = p_{M}) . Die Menge

I_{M} := { p | p ∈ K[T] , p(M) = O } ⊆ K[T]

ist ein Ideal in dem HIB K[T] (nachprüfen!) und ist daher ein Hauptideal. Nach Aufgabe 58 wird I_{M} von einem Polynom q kleinsten Grades in I_{M} erzeugt. Normiert man dieses Polynom, so erhält man ein eindeutig bestimmtes erzeugendes Element q_{M} von I_{M} . Zusammenfassend erhalten wir das folgende Ergebnis:

\underline{(23.16) SATZ:} Sei M ∈ M_{n}(K) . Dann gilt:

a) Es existiert ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom q_{M} ∈ K[T] kleinsten Grades mit q_{M}(M) = O. q_{M} heißt das Minimalpolynom von M .

b) Für alle p ∈ K[T] mit p(M) = O folgt q_{M}|p. Insbesondere q_{M}|p_{M} .

c) 1 ≤ grad(q_{M}) ≤ grad(p_{M}) = n.

\underline{Bew:} a) s.o.

b) Hier bezeichnet | die Teilbarkeitsbeziehung zwischen Polynomen aus K[T] : p | q :⟺ ∃ r ∈ K[T] : q = p · r.

p(M) = O ⟹ p ∈ I_{M} = (q_{M}) = K[T] · q_{M} , d.h. es existiert ein r ∈ K[T] mit p = r · q_{M} , also q_{M}|p.

c) Klar.

\underline{(23.17) FOLG:} Seien M ∈ M_{n}(K) und λ ∈ K. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

a) λ ist ein Eigenwert von M (d.h. Nullstelle von p_{M})

b) λ ist Nullstelle des Minimalpolynoms q_{M} von M .

\underline{Bew:} a) ⟹ b)

Nach Aufgabe 54 ist q_{M}(λ) Eigenwert der Matrix q_{M}(M) = O. Also existiert ein Vektor o_{n} ≠ v ∈ K^{n} mit

o_{n} = \underbrace{q_{M}(M)}_{=O} ·v = q_{M}(λ) · v ⟹^{v≠o_{n}} q_{M}(λ) = 0 .

b) ⟹ a)

Gelte q_{M}(λ) = 0 . Nach (23.16b) existiert ein Polynom r ∈ K[T] mit der Eigenschaft p_{M} = q_{M} · r . Es folgt

p_{M}(λ) = \underbrace{q_{M}(λ)}_{=0} ·r(λ) = 0

\underline{(23.18) FOLG:} Sei M ∈ M_{n}(K) .

a) p_{M} und q_{M} haben dieselben Nullstellen, allerdings mit i.a. unterschiedlichen Vielfachheiten.

b) Ist M trigonalisierbar und ist p_{M} = (−1)^{n} ∏_{i=1}^{r}(T − λ_{i})^{s_{i}} das charakteristische Polynom

von M (die λ_{i}’s seien paarweise voneinander verschieden), so ist

q_{M} = (−1)^{n} ∏_{i=1}^{r}(T − λ_{i})^{t_{i}} mit 1 ≤ t_{i} ≤ s_{i} (∀ i = 1, …, r) das Minimalpolynom von M .

\underline{Beispiel:} Sei M = ( \begin{matrix}2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & −2 & 4 \end{matrix} ) ∈ M_{4}(IR)

Das charakteristische Polynom berechnet sich zu p_{M} = (T − 3)(T − 2)^{3} . Für das Minimalpolynom ergibt sich q_{M} = (T − 3)(T − 2)^{k} mit k ∈ {1, 2, 3}.

\underline{k = 1:} q = (T − 3)(T − 2) ⟹ q(M) = (M − 3E_{4})(M − 2E_{4}) = ( \begin{matrix}0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ≠ O.

\underline{k = 2:} q = (T − 3)(T − 2)^{2} ⟹ q(M) = (M − 3E_{4})(M − 2E_{4})^{2} = O. Also

\underline{q_{M} = (T − 3)(T − 2)^{2}}

Dies ist das normierte Polynom kleinsten Grades, das von M annulliert wird.

\underline{(23.19) SATZ:} Ist M ∈ M_{n}(K) eine \underline{trigonalisierbare} Matrix, so sind folgende Aussagen äquivalent:

a) M ist diagonalisierbar

b) Das Minimalpolynom von M besitzt nur einfache Nullstellen.

\underline{Historische Bemerkung:} Die Jordan’sche Normalform einer Matrix wurde um 1870 von dem französischen Mathematiker Camille Jordan (1838–1922) im Zusammenhang mit der Untersuchung von Systemen linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten gefunden.