Chr.Nelius , Lineare Algebra II (SS 2005) 8a

(19.23) SATZ:

Leibniz’sche Determinantenformel

Für eine Matrix A = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K) gilt:

det(A) = ∑_{π∈S_{n}} sign(π) · a_{π(1),1} · a_{π(2),2} · . . . · a_{π(n),n}

Hierbei bezeichnet sign(π) das Vorzeichen der Permutation π ∈ S_{n}. Dieses ist definiert durch sign(π) := (−1)^{ν(π)} , wobei ν(π) die Anzahl der Inversionen (Fehlstände) von π angibt. (s. Einschub C)

\underline{Bew:} Sei d : V^{n} ⟶ K (V := K^{n}) die Determinantenform aus (19.13). Insbesondere gilt dafür d(e_{1}, …, e_{n}) = 1 . Sind v_{1}, …, v_{n} ∈ V die Spalten von A = (a_{ik}) , so gilt

v_{k} = n ; ∑ ; i_{k}=1 a_{i_{k}k}e_{i_{k}} (k = 1, 2, …, n)

Daraus ergibt sich mit der n–Linearität von d:

det(A) = d(v_{1}, v_{2}, …, v_{n})
= d ( ∑_{i_{1}=1}^{n} a_{i_{1}1}e_{i_{1}}, ∑_{i_{2}=1}^{n} a_{i_{2}2}e_{i_{2}}, …, ∑_{i_{n}=1}^{n} a_{i_{n}n}e_{i_{n}} )
= ∑_{i_{1}=1}^{n} ∑_{i_{2}=1}^{n} … ∑_{i_{n}=1}^{n} a_{i_{1}1} · a_{i_{2}2} · . . . · a_{i_{n}n} · d(e_{i_{1}}, e_{i_{2}}, …, e_{i_{n}n}) (⋆)

Sind 2 der Indizes i_{1}, i_{2}, …, i_{n} gleich, so ist d(e_{i_{1}}, e_{i_{2}}, …, e_{i_{n}n}) = 0 , da d alternierend ist. Sind dagegegen die Indizes i_{1}, i_{2}, …, i_{n} paarweise verschieden, so bilden sie eine Permutation

π = ( \begin{matrix}1 & 2 & … & n \\ i_{1} & i_{2} & … & i_{n} \end{matrix} )

der Zahlen 1, 2, …, n. In diesem Falle gilt nach (C.4)

(⋆⋆) d(e_{i_{1}}, e_{i_{2}}, …, e_{i_{n}n}) = d(e_{π(1)}, e_{π(2)}, …, e_{π(n)}) = sign(π) · d(e_{1}, e_{2}, …, e_{n}) = sign(π) Da in der n–fachen Summe (⋆) nur solche Summanden ≠ 0 sein können, deren Indizes eine Permutation der Zahlen 1, 2, …, n sind, ergibt sich mit (⋆⋆) die behauptete Formel

det(A) = ∑_{π∈S_{n}} sign(π) · a_{π(1),1} · a_{π(2),2} · . . . · a_{π(n),n}