Chr.Nelius , Lineare Algebra II (SS 2005) 13 \underline{Beispiel:} für das Normalformenproblem für Endomorphismen. Es sei f : IR^{3} ⟶ IR^{3} die mit Hilfe linearer Fortsetzung definierte IR–lineare Abbildung mit

f(e_{1}) = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) , f(e_{2}) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , f(e_{3}) = ( \begin{matrix}1 \\ −3 \\ 4 \end{matrix} )

Dann besitzt f die Darstellungsmatrix (bzgl. der kanonischen Basis des IR^{3})

M(f) = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ −1 & 0 & −3 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix} )

Wir bilden jetzt die Darstellungsmatrix M_{B}^{B}(f) von f bzgl. der neuen Basis

B = ( \underbrace{( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )}_{=:v_{1}} , \underbrace{( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} )}_{=:v_{2}} , \underbrace{( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} )}_{=:v_{3}} )

von IR^{3} . Nach Definition ist

M_{B}^{B}(f) = ( κ_{B}(f(v_{1})) κ_{B}(f(v_{2})) κ_{B}(f(v_{3})) )

Berechne nun κ_{B}(f(v_{k})) :

f(v_{1}) = f((−1)·e_{1} +1·e_{2} +0·e_{3}) = −f(e_{1})+f(e_{2}) = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) = v_{1} ⟹ κ_{B}(f(v_{1}) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

Analog: f(v_{2}) = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ −2 \end{matrix} ) = 2 · v_{2} ⟹ κ_{B}(f(v_{2})) = ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) und

f(v_{3}) = ( \begin{matrix}0 \\ −3 \\ 3 \end{matrix} ) = 3 · v_{3} ⟹ κ_{B}(f(v_{3})) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} ) .

Damit ergibt sich als Darstellungsmatrix von f bzgl. B die Diagonalmatrix

M_{B}^{B}(f) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} )