Basiswechsel

Seien B = (v_{1}, …, v_{n}) und B′ = (v′_{1}, …, v′_{n}) zwei (geordnete) Basen des K–Vektorraumes V. Wir wollen den Übergang von der Basis B zu der Basis B′ beschreiben. Jeder Vektor aus V kann als Linearkombination der Vektoren aus B dargestellt werden. Insbesondere gilt für alle k = 1, 2, …, n:

v_{k} = ∑_{i=1}^{n} a_{ik}v′_{i} (a_{ik} ∈ K)

Der Übergang von B nach B′ wird gerade durch die Matrix A = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K) beschrieben:

v ∈ V ⟹ v = ∑_{k=1}^{n} α_{k}v_{k} = ∑_{k=1}^{n} α_{k} ∑_{i=1}^{n} a_{ik}v′_{i} = ∑_{i=1}^{n} (∑_{k=1}^{n} a_{ik}α_{k}) v′_{i}

Also κ_{B′}(v) = A · ( α_{1} ; ⋮ ; α_{n} ) = A · κ_{B}(v) .

Die “neuen” Koordinaten von v bzgl. B′ ergeben sich also durch Multiplikation von A mit den “alten” Koordinaten von v bzgl. B

Die Matrix A heißt Transformationsmatrix zum Basiswechsel von B nach B′ und wird mit T_{B′}^{B} bezeichnet. Wir bilden jetzt die Darstellungsmatrix M_{B′}^{B}(id_{V}) der identischen Abbildung id_{V} : V ⟶ V. Die k–te Spalte von M_{B′}^{B}(id_{V}) ist der Koordinatenvektor

κ_{B′}(id_{V} (v_{k})) = κ_{B′}(v_{k}) = ( a_{1k} ; ⋮ ; a_{nk} )

d.h. M_{B′}^{B}(id_{V}) = A = T_{B′}^{B}. Es folgt

T_{B′}^{B} · T_{B}^{B′} = M_{B′}^{B}(id_{V}) · M_{B}^{B′}(id_{V}) =^{(18.29)} M_{B′}^{B′}(id_{V} ∘ id_{V}) = M_{B′}^{B′}(id_{V}) = E_{n}

Damit ist T_{B′}^{B} invertierbar, und es ist (T_{B′}^{B})^{−1} = T_{B}^{B′} die Transformationsmatrix zum Basiswechsel von B′ nach B. Zusammenfassend:

\underline{(18.31) LEMMA:} V sei ein endlichdimensionaler K–Vektorraum. B und B′ seien Basen von V. Dann gilt:

a) T_{B′}^{B} = M_{B′}^{B}(id_{V}) ist die Transformationsmatrix zum Basiswechsel von B nach B′.

b) Die Matrix T_{B′}^{B} ist invertierbar. Ihr Inverses (T_{B′}^{B})^{−1} = T_{B}^{B′} ist die Transformationsmatrix zum Basiswechsel von B′ nach B.

Problem f : V ⟶ W sei eine K–lineare Abbildung, und es sei dim_{K}(V) = n, dim_{K}(W) = m. Ferner seien B, B′ Basen von V und C, C′ Basen von W. Gibt es dann einen Zusammenhang zwischen den beiden Darstellungsmatrizen M_{C}^{B}(f) und M_{C′}^{B′}(f) ?

V \underrightarrow{id_{V}} V \underrightarrow{f} W \underrightarrow{id_{W}} W
∪  ∪  ∪  ∪
B′  B  C  C′

Es ist f = id_{W} ∘ f ∘ id_{V} und damit

M_{C′}^{B′}(f) = M_{C′}^{B′}(id_{W} ∘ f ∘ id_{V}) =^{(18.29)} M_{C′}^{C}(id_{W}) · M_{C}^{B}(f) · M_{B}^{B′}(id_{V}) = T_{C′}^{C} · M_{C}^{B}(f) · T_{B}^{B′}.

Sei P := T_{C′}^{C} ∈ GL_{m}(K) die Matrix zum Basiswechsel von C nach C′

und Q := T_{B′}^{B} ∈ GL_{n}(K) die Matrix zum Basiswechsel von B nach B′.

Dann gilt T_{B}^{B′} = Q^{−1} , und wir erhalten zusammenfassend:

\underline{(18.32) SATZ:} V und W seien K–Vektorräume der Dimension n bzw. m. B, B′ seien Basen von V und C, C′ seien Basen von W. Ist dann f : V ⟶ W eine K–lineare Abbildung, so gibt es invertierbare Matrizen P ∈ GL_{m}(K) und Q ∈ GL_{n}(K) mit

M_{C′}^{B′}(f) = P · M_{C}^{B}(f) · Q^{−1} .

Dabei ist P = T_{C′}^{C} die Transformationsmatrix zum Basiswechsel von C nach C′ und Q = T_{B′}^{B} die Transformationsmatrix zum Basiswechsel von B nach B′.

\underline{(18.33) FOLG:} V sei ein n–dimensionaler K–Vektorraum mit den Basen B und B′ und f : V ⟶ V sei eine K–lineare Abbildung (auch K–Endomorphismus von V genannt). Dann gibt es eine invertierbare Matrix P ∈ GL_{n}(K) mit

M_{B′}^{B′}(f) = P · M_{B}^{B}(f) · P^{−1} .

Das Normalformenproblem für lineare Abbildungen

Die Darstellungsmatrix M_{C}^{B}(f) einer K–linearen Abbildung f : V ⟶ W hängt von den Basen B und C ab. Man wird daher versuchen, durch Wahl geeigneter Basen zu erreichen, daß die Darstellungsmatrix eine möglichst “einfache” Gestalt annimmt. Eine solche Matrix nennt man dann eine Normalform von f. Als besonders einfache Form können wir uns eine obere Dreiecksmatrix oder eine Diagonalmatrix vorstellen . Das folgende Ergebnis kennen wir bereits:

\underline{(18.34) SATZ:} V und W seien K–Vektorräume der Dimension n bzw. m. f : V ⟶ W sei eine K–lineare Abbildung vom Range r. Dann gibt es Basen B ⊆ V und C ⊆ W mit

M_{C}^{B}(f) = ( \begin{matrix}E_{r} & O \\ O & O \end{matrix} )

wobei E_{r} ∈ M_{r}(K) die Einheitsmatrix ist.

Äquivalenz von Matrizen

Satz (18.32) legt die folgende Definition nahe:

\underline{(18.35) DEF:} Seien M, N ∈ M_{m,n}(K). Dann heißt die Matrix M äquivalent zur Matrix N (in Zeichen: M ∼ N), wenn es invertierbare Matrizen P ∈ GL_{m}(K) und Q ∈ GL_{n}(K) gibt mit

M = P · N · Q^{−1}

\underline{(18.36) LEMMA:} Für Matrizen L, M, N ∈ M_{m,n}(K) gilt:

a) M ∼ M (Reflexivität)

b) M ∼ N ⟹ N ∼ M (Symmetrie)

c) L ∼ M ∧ M ∼ N ⟹ L ∼ N (Transitivität). Damit erfüllt die Relation ∼ auf M_{m,n}(K) die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation.

\underline{(18.37) SATZ:} Für Matrizen M, N ∈ M_{m,n}(K) sind folgende Aussagen äquivalent:

a) M ∼ N

b) rg(M) = rg(N)

c) Es gibt K–Vektorräume V und W, Basen B, B′ von V, Basen C, C′ von W und eine K– lineare Abbildung f : V ⟶ W mit

M = M_{C}^{B}(f) und N = M_{C′}^{B′}(f)

Das Normalformenproblem für Endomorphismen

Für einen K–Endomorphismus f : V ⟶ V wird eine geeignete Basis B ⊆ V gesucht, so daß die Darstellungsmatrix M_{B}^{B}(f) eine möglichst “einfache” Form annimmt. Als besonders einfache Form können wir uns eine obere Dreiecksmatrix oder eine Diagonalmatrix vorstellen . Mit diesem Problem werden wir uns noch später beschäftigen.

Ähnlichkeit von Matrizen

Die folgende Definition wird durch (18.33) motiviert:

\underline{(18.38) DEF:} Seien M, N ∈ M_{n}(K). Dann heißt die Matrix M ähnlich zur Matrix N (in Zeichen: M ≈ N), wenn es eine invertierbare Matrix P ∈ GL_{n}(K) gibt mit der Eigenschaft: gibt mit

M = P · N · P^{−1} .

\underline{(18.39) BEM:} a) ≈ ist eine Äquivalenzrelation auf M_{n}(K).

b) M ≈ N ⟹ M ∼ N.

\underline{(18.40) SATZ:} Seien M, N ∈ M_{n}(K). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

a) M ≈ N

b) Es gibt einen K–Vektorraum V, Basen B und C von V sowie einen K–Endomorphismus f : V ⟶ V mit:

M = M_{B}^{B}(f) und N = M_{C}^{C}(f) .

Bevor wir uns ausführlicher mit dem Normalformenproblem für Endomorphismen beschäftigen können, müssen wir zuerst noch Determinanten von Matrizen behandeln.