Wir haben bisher die Darstellungsmatrix einer K–linearen Abbildung g : K^{n} ⟶ K^{m} gebildet und gesehen, daß diese Matrix die Abbildung g vollständig beschreibt. Wir werden im folgenden die Darstellungsmatrix einer beliebigen K–linearen Abbildung f : V ⟶ W zwischen endlichdimensionalen K–Vektorräumen definieren, wobei diese Matrix von ausgewählten Basen von V und W abhängt. Ziel wird es später sein, durch geeignete Wahl dieser Basen eine möglichst “einfache” Form der Darstellungsmatrix zu erhalten, eine sog. Normalform für diese lineare Abbildung.

Eine Basis B = {v_{1}, …, v_{n}} von V ist definitionsgemäß eine Menge. Bei einer Menge kommt es nicht auf die Reihenfolge der Elemente an. Bei den folgenden Überlegungen wird aber die Reihenfolge wichtig werden, so daß wir auch geordnete Basen von Vektorräumen betrachten wollen, die wir dann als Zeilenvektoren schreiben werden. Sei also B = (v_{1}, …, v_{n}) eine (geordnete) Basis von V.

Jeder Vektor v ∈ V besitzt eine Darstellung der Form v = ∑_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} mit eindeutig bestimmten

Koeffizienten a_{i} ∈ K (i = 1, …, n). Daher liefert die Zuordnung v ⟼ ( a_{1} ; ⋮ ; a_{n} ) ∈ K^{n} eine

K–lineare Abbildung κ_{B} : V ⟶ K^{n}. Alternativ können wir κ_{B} durch lineare Fortsetzung definieren, indem wir κ_{B}(v_{i}) := e_{i} festlegen, wobei e_{i} der i–te Einheitsvektor aus der kanonischen Basis E_{n} von K^{n} ist.

κ_{B} : V ⟶ K^{n} , v_{i} ⟼ e_{i} (i = 1, …, n)

Umgekehrt läßt sich mit Hilfe linearer Fortsetzung eine K–lineare Abbildung

λ_{B} : K^{n} ⟶ V , e_{i} ⟼ v_{i} (i = 1, …, n)

definieren. Bei beiden Abbildungen wird eine Basis in eine Basis überführt, so daß sowohl κ_{B} als auch λ_{B} Isomorphismen sind. Außerdem ist auf Grund der Definition klar , daß beide Abbildungen zueinander invers sind, d.h.

λ_{B}^{−1} = κ_{B}

Explizit gilt λ_{B}(( a_{1} ; ⋮ ; a_{n} )) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} .

\underline{(18.23) DEF:} Sei V ein K–Vektorraum mit einer (geordneten) Basis B = (v_{1}, …, v_{n}). Besitzt

dann ein Vektor v ∈ V die Darstellung ∑_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} , so heißt der Spaltenvektor

κ_{B}(v) = ( a_{1} ; ⋮ ; a_{n} ) ∈ K^{n}

der Koordinatenvektor von v bzgl. der Basis B.

Die folgenden Bezeichnungen werden im folgenden stillschweigend benutzt:

V und W seien endlichdimensionale K–Vektorräume mit geordneten Basen B = (v_{1}, …, v_{n}) bzw. C = (w_{1}, …, w_{m}). Ferner sei f : V ⟶ W eine K–lineare Abbildung.

f
V ⟶ W
λ_{B} ↑  ↓ κ_{C}
K^{n} ⟶ K^{m}
\overline{f}
Dann ist  \overline{f} := κ_{C} ∘ f ∘ λ_{B} : K^{n} ⟶ K^{m}

eine K–lineare Abbildung, die natürlich von den beiden Basen B und C abhängt. Von dieser Abbildung können wir die Darstellungsmatrix M(\overline{f}) = ( \overline{f}(e_{1}) … \overline{f}(e_{n}) ) ∈ M_{m,n}(K) bilden, wobei E_{n} = {e_{1}, …, e_{n}} die kanonische Basis von K^{n} ist. Es gilt für alle k ∈ {1, …, n}

\overline{f}(e_{k}) = κ_{C} ∘ f ∘ λ_{B}(e_{k}) = (κ_{C} ∘ f)(λ_{B}(e_{k})) = κ_{C}(f(v_{k}))

d.h. die k–te Spalte \overline{f}(e_{k}) von M(\overline{f}) ist gerade der Koordinatenvektor von f(v_{k}) bzgl. der Basis C von W.

Es ist f(v_{k}) = ∑_{i=1}^{m} b_{ik}w_{i} , also κ_{C}(f(v_{k})) = ( b_{1k} ; ⋮ ; b_{mk} ) ∈ K^{m} und damit

M(\overline{f}) = ( \begin{matrix}b_{11} & … & b_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ b_{m1} & … & b_{mn} \end{matrix} ) ∈ M_{m,n}(K)

\underline{(18.24) DEF:} V und W seien K–Vektorräume mit dim_{K}(V) = n und dim_{K}(W) = m. Es sei B = (v_{1}, …, v_{n}) eine geordnete Basis von V und C eine geordnete Basis von W. f : V ⟶ W sei eine K–lineare Abbildung. Dann heißt die (m × n)–Matrix M_{C}^{B}(f) , deren k–te Spalte aus dem Koordinatenvektor von f(v_{k}) bzgl. C besteht (k = 1, …, n), die Darstellungsmatrix von f bzgl. B und C.

\underline{Beispiel:} f : IR^{2} ⟶ IR^{2} , f(( \begin{matrix}r \\ s \end{matrix} )) := ( \begin{matrix}r \\ r + s \end{matrix} )

B = (e_{1}, e_{2}) (= E_{2}) , C = (w_{1}, w_{2}) mit w_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ) , w_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} ) sind Basen von IR^{2}.

Es ergibt sich:

M_{C}^{B}(f) = ( −\frac{1}{3} −\frac{2}{3}_{\frac{2}{3} \frac{1}{3}} ) ∈ M_{2}(IR)

Außerdem gilt z.B. M_{C}^{B}(f) · ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ) = ( −\frac{8}{3}_{\frac{7}{3}} ) = κ_{C}(f(( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} )))

d.h. f(( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} )) = −\frac{8}{3}·w_{1}+\frac{7}{3}·w_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ 5 \end{matrix} ) in Übereinstimmung mit der Zuordnungsvorschrift

von f.

\underline{(18.25) BEM:} Sei f : V ⟶ W eine K–lineare Abbildung.

a) M_{C}^{B}(f) = ( κ_{C}(f(v_{1})) … κ_{C}(f(v_{n})) ) ∈ M_{m,n}(K)

b) M_{C}^{B}(f) = M(κ_{C} ∘ f ∘ λ_{B}) mit κ_{C} ∘ f ∘ λ_{B} : K^{n} ⟶ K^{m}

c) Besitzt v ∈ V den Koordinatenvektor ( a_{1} ; ⋮ ; a_{n} ) ∈ K^{n} bzgl. B, so hat f(v) den Koordi-

natenvektor M_{C}^{B}(f) · ( a_{1} ; ⋮ ; a_{n} ) ∈ K^{m} bzgl. C , d.h.  κ_{C}(f(v)) = M_{C}^{B}(f) · κ_{B}(v)

d) Für eine K–lineare Abbildung g : K^{n} ⟶ K^{m} gilt M(g) = M_{E_{m}}^{E_{n}}(g) , so daß die alte Definition einer Darstellungsmatrix in der neuen enthalten ist.

\underline{(18.26) SATZ:} V und W seien endlichdimensionale K–Vektorräume mit geordneten Basen B bzw. C. Ist dann f : V ⟶ W eine K–lineare Abbildung, so gilt

rg_{K}(f) = rg(M_{C}^{B}(f))

\underline{(18.27) SATZ:} V und W seien endlichdimensionale K–Vektorräume mit geordneten Basen B bzw. C. Dann ist die Abbildung

Φ_{C}^{B} : Hom_{K}(V, W) ⟶ M_{m,n}(K) , f ⟼ M_{C}^{B}(f)

ein K–Isomorphismus.

\underline{(18.28) FOLG:} Für endlichdimensionale K–Vektorräume V und W gilt

dim_{K}(Hom_{K}(V, W)) = dim_{K}(V) · dim_{K}(W)

\underline{(18.29) SATZ:} V, W und X seien endlichdimensionale K–Vektorräume mit geordneten Basen B, C bzw. D. Sind dann f : V ⟶ W und g : W ⟶ X K–lineare Abbildungen, so gilt für die Darstellungsmatrix der Hintereinanderausführung g ∘ f : V ⟶ X

M_{D}^{B}(g ∘ f) = M_{D}^{C}(g) · M_{C}^{B}(f)

\underline{(18.30) FOLG:} f : V ⟶ W sei eine K–lineare Abbildung, B und C seien beliebige geordnete Basen von V bzw. W. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

a) f ist ein K–Isomorphismus

b) M_{C}^{B}(f) ∈ GL_{n}(K).

Zusatz: Ist f ein K–Isomorphismus, so gilt M_{C}^{B}(f)^{−1} = M_{B}^{C}(f^{−1})