Bew:

1) Eindeutigkeit

Seien f, g : V ⟶ W zwei K–lineare Abbildungen mit f(v_{i}) = w_{i} und g(v_{i}) = w_{i} für alle i = 1, 2, …, n. Dann folgt f(v_{i}) = g(v_{i}) ∀ i ∈ {1, 2, …, n}. Da B als Basis von V insbesondere auch ein EZS von V ist, ergibt sich f = g mit (17.32) . Also gibt es höchstens eine lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft.

\underline{2) Existenz}

Wir müssen den Bildwert f(v) ∈ W für ein beliebiges v ∈ V in eindeutiger Weise festlegen. Da B eine Basis von V ist, besitzt jeder Vektor v ∈ V eine Darstellung der Form

v = ∑_{i=1}^{n}a_{i}v_{i}

mit eindeutig bestimmten Koeffizienten a_{i} ∈ K. Definiere in diesem Fall:

(∗) f(v) := ∑_{i=1}^{n}a_{i}w_{i}

Dann ist f(v) ein Vektor aus W, der durch v eindeutig bestimmt ist. Durch v ⟼ f(v) ist damit eine eindeutige Zuordnungsvorschrift erklärt, die eine Abbildung f : V ⟶ W definiert.

Es wird nun gezeigt, daß f K–linear ist.

L_{1}) Seien v = ∑_{i=1}^{n}a_{i}v_{i} , v′ = ∑_{i=1}^{n}a′_{i}v_{i} zwei beliebige Vektoren aus V .

Dann ist v + v′ = ∑_{i=1}^{n}(a_{i} + a′_{i})v_{i} . Damit folgt:

\underline{\underline{f(v + v′)}} =^{(∗)} ∑_{i=1}^{n}(a_{i} + a′_{i})w_{i} = ∑_{i=1}^{n}a_{i}w_{i} + ∑_{i=1}^{n}a′_{i}w_{i} =^{(∗)} \underline{\underline{f(v) + f(v′)}}

L_{2}) Seien v = ∑_{i=1}^{n}a_{i}v_{i} ∈ V und r ∈ K beliebig. Dann ist rv = ∑_{i=1}^{n}(ra_{i})v_{i}, und es folgt

\underline{\underline{f(rv)}} =^{(∗)} ∑_{i=1}^{n}(ra_{i})w_{i} = r (∑_{i=1}^{n}a_{i}w_{i}) =^{(∗)} \underline{\underline{rf(v)}}

Als letztes bleibt zu zeigen, daß f(v_{i}) = w_{i} für alle i = 1, 2, …, n gilt.

Es ist v_{i} = 0v_{1} + … + 0v_{i−1} + 1v_{i} + 0v_{i+1} + … + 0v_{n}. Nach Definition von f folgt

f(v_{i}) = 0w_{1} + … + 0w_{i−1} + 1w_{i} + 0w_{i+1} + … + 0w_{n} = w_{i}

Damit ist alles bewiesen.

\underline{\underline{BEM:}} Die Aussage des Satzes (17.33) gilt auch für den Fall, daß V ein unendlichdimensionaler Vektorraum ist.

Chr.Nelius , Lineare Algebra II (SS 2005) 9 \underline{\underline{(17.34) SATZ:}} Für zwei endlichdimensionale K–Vektorräume V und W gilt:

V ≅ W ⟺ dim_{K}(V ) = dim_{K}(W)

\underline{\underline{(17.35) FOLG:}} Ist V ein K–Vektorraum der Dimension n, so folgt

V ≅ K^{n}

\underline{\underline{(17.36) DEF:}} Für eine beliebige K–lineare Abbildung f : V ⟶ W wird

rg_{K}(f) := dim_{K}(Bild(f))

der K–Rang von f genannt. \underline{\underline{(17.37) BEM:}} Sei f : V ⟶ W eine K–lineare Abbildung.

a) dim_{K}(W) < ∞ ⟹ rg_{K}(f) < ∞

b) Ist E ⊆ V ein endliches EZS von V , so ist f(E) ein endliches EZS von Bild(f). Also ist rg_{K}(f) die Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren aus f(E). Folglich: dim_{K}(V ) < ∞ ⟹ rg_{K}(f) < ∞

c) Im Falle dim_{K}(W) < ∞ gilt: f surjektiv ⟺ rg_{K}(f) = dim_{K}(W)

d) f injektiv ⟺ dim_{K}(Kern(f)) = 0 \underline{\underline{(17.38) Beispiele:}} a) Für f : V ⟶ W gilt: rg_{K}(f) = 0 ⟺ f = o

b) rg_{K}(id_{V}) = dim_{K}(V ) , falls V endlichdimensional ist.

c) Sei A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ M_{3,4}(IR). Für die IR–lineare Abbildung f_{A} : IR^{4} ⟶ IR^{3} gilt

dann f_{A}(B) = \{( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )\} , wobei B = \{e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\} die kanonische Basis

von IR^{4} ist. Mit (17.37b) ergibt sich rg_{IR}(f_{A}) = 2. Es ist aber auch rg(A) = 2 , da A = T (A) . Frage: Ist diese Übereinstimmung Zufall ?

\underline{\underline{(17.39) LEMMA:}} V, W, X, Y seien endlichdimensionale K–Vektorräume, und es seien f : V ⟶ W, g : W ⟶ X , h : X ⟶ Y K–lineare Abbildungen. Dann gilt:

a) f surjektiv ⟹ rg_{K}(g ∘ f) = rg_{K}(g)

b) h injektiv ⟹ rg_{K}(h ∘ g) = rg_{K}(g)

c) f surjektiv und h injektiv ⟹ rg_{K}(h ∘ g ∘ f) = rg_{K}(g).

\underline{Bew:} Übungsaufgabe 28 .

\underline{\underline{(17.40) LEMMA:}} Sei f : V ⟶ W eine K–lineare Abbildung. Ist V endlichdimensional, so gibt es einen Untervektorraum U ⊆ V mit folgenden Eigenschaften:

i) V = Kern(f) ⊕ U ii) U ≅ Bild(f)

(17.41) RANGSATZ für lineare Abbildungen V und W seien K–Vektorräume, und f : V ⟶ W sei eine K–lineare Abbildung. Ist dann V endlichdimensional, so gilt:

a) rg_{K}(f) < ∞

b) dim_{K}(V ) = dim_{K}(Kern(f)) + rg_{K}(f) .

\underline{\underline{(17.42) FOLG:}} V und W seien endlichdimensionale K–Vektorräume mit dim_{K}(V ) = dim_{K}(W). Für eine K–lineare Abbildung f : V ⟶ W sind dann folgende Aussagen äquivalent:

a) f ist injektiv

b) f ist surjektiv

c) f ist bijektiv .

\underline{\underline{(17.43) BEM:}} a) Ein entsprechendes Ergebnis gilt für eine Abbildung f : M ⟶ N zwischen zwei endlichen Mengen mit gleicher Elementzahl: Im Falle |M| = |N| sind folgende Aussagen äquivalent:

a) f ist injektiv

b) f ist surjektiv

c) f ist bijektiv .

b) Sind V und W unendlichdimensionale K–Vektorräume, so gilt (17.42) i.a. nicht mehr ! (s. Aufgabe 25)