Wir führen nun lineare Abbildungen als “strukturverträgliche” Abbildungen zwischen Vektorräumen ein. Sei A ∈ M_{m,n}(K) eine beliebige Matrix. Wir definieren eine Abbildung

f_{A} : K^{n} ⟶ K^{m} , f_{A}(v) := Av (∀ v ∈ K^{n})

Nach (9.7) gilt dann

f_{A}(v + v′) = f_{A}(v) + f_{A}(v′) (∀ v, v′ ∈ K^{n})
f_{A}(αv) = αf_{A}(v) (∀ α ∈ K , ∀ v ∈ K^{n})

Wir nehmen dies als Anlass für die folgende Definition:

\underline{\underline{(17.18) DEF:}} K sei ein beliebiger Körper. V und W seien Vektorräume über K. Eine Abbildung f : V ⟶ W heißt K–linear (oder kurz linear oder auch K–Homomorphismus), wenn gilt: L_{1}) f(v + v′) = f(v) + f(v′) (∀ v, v′ ∈ V ) L_{2}) f(α v) = α f(v) (∀ α ∈ K , ∀ v ∈ V ) . Die Menge aller K–linearen Abbildungen von V nach W wird mit Hom_{K}(V, W) bezeichnet.

\underline{\underline{(17.19) Beispiele:}} a) Jede Matrix A ∈ M_{m,n}(K) definiert durch die Vorschrift

f_{A}(v) := Av (∀ v ∈ K^{n})

eine K–lineare Abbildung f_{A} : K^{n} ⟶ K^{m}.

b) Ist V ein K–Vektorraum, so ist die Identität id_{V} : V ⟶ V eine K–lineare Abbildung.

c) Sind V, W K–Vektorräume, so ist die Nullabbildung o : V ⟶ W , v ⟼ o_{W}, eine K–lineare Abbildung.

d) Ist V ein K–Vektorraum, so heißt eine K–lineare Abbildung V ⟶ K auch eine K– Linearform auf V .

e) Sind V_{1}, V_{2}, W K–Vektorräume, so heißt eine Abbildung f : V_{1} × V_{2} ⟶ W K–bilinear, wenn f in jedem Argument K–linear ist.

\underline{(17.20) SATZ:}

Eigenschaften linearer Abbildungen

V und W seien K–Vektorräume über einem beliebigen Körper K. Für eine K–lineare Abbildung f : V ⟶ W gilt:

a) f(o_{V}) = o_{W}

b) f(−v) = −f(v) für alle v ∈ V

c) f(v − v′) = f(v) − f(v′) für alle v, v′ ∈ V

d) f(av + a′v′) = af(v) + a′f(v′) für alle a, a′ ∈ K, v, v′ ∈ V

e) f (∑_{i=1}^{n}a_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{n}a_{i}f(v_{i}) (∀ a_{i} ∈ K, v_{i} ∈ V ).

\underline{\underline{(17.21) LEMMA:}} Sind V und W K–Vektorräume über einem beliebigen Körper K, so ist Hom_{K}(V, W) ein Untervektorraum des K–Vektorraumes A(V, W) aller Abbildungen von V nach W.

\underline{\underline{(17.22) LEMMA:}} Sind f : V ⟶ W und g : W ⟶ X K–lineare Abbildungen, so ist auch die Hintereinanderausführung g ∘ f : V ⟶ X K–linear. (Beweis s. Aufgabe 22)

\underline{\underline{(17.23) DEF:}} Für eine K–lineare Abbildung f : V ⟶ W definiert man:

a) Kern(f) := { v | v ∈ V , f(v) = o_{W} } ⊆ V

b) Bild(f) := { f(v) | v ∈ V } ⊆ W .

\underline{\underline{(17.24) SATZ:}} Für eine K–lineare Abbildung f : V ⟶ W gilt:

a) U ⊆ V Untervektorraum ⟹ f(U) ⊆ W Unterraum

b) X ⊆ W Untervektorraum ⟹ f^{−1}(X) ⊆ V Unterraum.

\underline{\underline{(17.25) FOLG:}} Ist f : V ⟶ W eine K–lineare Abbildung, so gilt:

a) Bild(f) = f(V ) ist ein Untervektorraum von W

b) Kern(f) = f^{−1}({0_{W}}) ist ein Untervektorraum von V .

\underline{\underline{(17.26) SATZ:}} Für eine K–lineare Abbildung f : V ⟶ W gilt:

a) f injektiv ⟺ Kern(f) = 0

b) f surjektiv ⟺ Bild(f) = W.

\underline{\underline{(17.27) DEF:}} V und W seien K–Vektorräume über einem beliebigen Körper K.

a) Eine injektive K–lineare Abbildung f : V ⟶ W heißt ein K–Monomorphismus von V nach W.

b) Eine surjektive K–lineare Abbildung f : V ⟶ W heißt ein K–Epimorphismus von V auf W.

c) Eine bijektive K–lineare Abbildung f : V ⟶ W heißt ein K–Isomorphismus von V auf W.

d) V heißt K–isomorph zu W (in Zeichen: V ≅_{K} W oder kurz: V ≅ W), wenn es einen K–Isomorphismus von V auf W gibt.

\underline{\underline{(17.28) LEMMA:}} V, W und X seien K–Vektorräume über einem beliebigen Körper K.

a) id_{V} : V ⟶ V ist ein K–Isomorphismus.

b) Ist f : V ⟶ W ein K–Isomorphismus, so ist auch f^{−1} : W ⟶ V ein K– Isomorphismus.

c) Sind f : V ⟶ W und g : W ⟶ X K–Isomorphismen, so ist auch die Hintereinanderausführung g ∘ f : V ⟶ X ein K–Isomorphismus.

\underline{\underline{(17.29) FOLG:}} Für K–Vektorräume V, W, X gilt:

a) V ≅ V (Reflexivität)

b) V ≅ W ⟹ W ≅ V (Symmetrie)

c) V ≅ W ∧ W ≅ X ⟹ V ≅ X (Transitivität).

\underline{\underline{(17.30) SATZ:}} f : V ⟶ W sei eine K–lineare Abbildung und T ⊆ V eine beliebige Teilmenge. Dann gilt:

a) Ist f injektiv und ist T linear unabhängig, so ist f(T) linear unabhängig

b) Ist E ein EZS von V , so ist f(E) ein EZS von Bild(f)

c) Ist f surjektiv und ist E ein EZS von V , so ist f(E) ein EZS von W

d) Ist f(T) ein EZS von W, so ist f surjektiv.

\underline{\underline{(17.31) FOLG:}} f : V ⟶ W sei ein K–Isomorphismus. Ist dann V endlichdimensional, so ist auch W endlichdimensional, und es gilt dim_{K}(V ) = dim_{K}(W)

\underline{\underline{(17.32) LEMMA:}} f, g : V ⟶ W seien K–lineare Abbildungen, und E ⊆ V sei ein EZS von V . Gilt dann f(e) = g(e) für alle e ∈ E, so folgt f = g . Oder anders formuliert: f|E = g|E ⟹ f = g.

(17.33) SATZ über lineare Fortsetzung:

V und W seien K–Vektorräume über einem beliebigen Körper K, und B = {v_{1}, v_{2}, …, v_{n}} sei eine Basis von V . Zu beliebig vorgegebenen Vektoren w_{1}, w_{2}, …, w_{n} ∈ W gibt es dann genau eine K–lineare Abbildung f : V ⟶ W mit der Eigenschaft f(v_{i}) = w_{i} für alle i ∈ {1, 2, …, n}.

Fazit: Um eine lineare Abbildung f : V ⟶ W zu definieren, braucht man die Zuordnungsvorschrift nur für die Elemente einer (endlichen) Basis von V anzugeben. Durch lineare Fortsetzung ist die Abbildung dann auf ganz V definiert.