§17 Lineare Abbildungen

Wir beginnen mit der Klärung des Abbildungsbegriffes.

\underline{\underline{(17.1) DEF:}} M und N seien nichtleere Mengen. Eine Abbildung f von M nach N (in Zeichen: f : M ⟶ N) ordnet \underline{jedem} Element aus M \underline{genau} ein Element aus N zu. Die Menge aller Abbildungen von M nach N werde mit A(M, N) bezeichnet.

\underline{\underline{(17.2) BEM:}} a) Wir benutzen die folgenden Bezeichnungen: Ist f : M ⟶ N eine Abbildung, so heißt M der Definitionsbereich von f und N der Wertebereich von f . Ist x ein Element aus M, so wird das dem x durch f zugeordnete Element y aus N mit y =: f(x) bezeichnet. Man schreibt auch x ⟼ y. f(x) heißt der Bildwert von x unter f . Ist y ein Element aus N, so heißt jedes Element x ∈ M mit y = f(x) ein Urbild von y unter f . Die Menge G_{f} := { (x, f(x)) | x ∈ M } ⊆ M × N heißt der Graph von f .

b) Sei f : M ⟶ N eine Abbildung und G_{f} der Graph von f . Da “ y ist Bild von x unter f“ formal (x, y) ∈ G_{f} bedeutet, können wir folgendermaßen zu einer präziseren Definition einer Abbildung kommen (unter einer Relation zwischen zwei Mengen M und N verstehen wir irgendeine Teilmenge des kartesischen Produktes M × N): Eine Abbildung f : M ⟶ N ist eine Relation f ⊆ M × N mit folgenden Eigenschaften:

i) ∀ x ∈ M ∃ y ∈ N : (x, y) ∈ f (f ist linkstotal) ii) ∀ x ∈ M ∀ y_{1} ∈ N ∀ y_{2} ∈ N : (x, y_{1}) ∈ f ∧ (x, y_{2}) ∈ f ⟹ y_{1} = y_{2} (f ist rechtseindeutig). Fazit: Eine Abbildung ist eine linkstotale und rechtseindeutige Relation zwischen zwei Mengen. Erfüllt die Relation f ⊆ M × N nur die Bedingung ii), so heißt f auch eine partielle Abbildung.

\underline{\underline{(17.3) Beispiele:}} a) Funktionen aus der Analysis sind Abbildungen, etwa sin, cos, exp : � ⟶ �

b) M, N beliebige Mengen, y_{0} ∈ N fest: k : M ⟶ N , k(x) := y_{0} (∀ x ∈ M) oder kurz x ⟼ y_{0} ist eine konstante Abbildung.

c) id_{M} : M ⟶ M , x ⟼ x, heißt identische Abbildung auf M .

d) Ist f : M ⟶ N eine Abbildung und T ⊆ M eine Teilmenge, so heißt die Abbildung f|T : T ⟶ N , (f|T)(x) := f(x) (∀ x ∈ T) die Einschränkung von f auf T .

e) Ist T ⊆ M eine Teilmenge, so heißt die Abbildung i : T ⟶ M , i(x) := x (∀ x ∈ T) die Inklusionsabbildung (i = id_{M}|T) . f) Die Abbildung p_{M} : M × N ⟶ M , (x, y) ⟼ x, heißt Projektionsabbildung .

g) Ist M = {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}} eine endliche Menge, so läßt sich eine Abbildung f : M ⟶ N durch explizite Angabe aller Bildwerte f(x_{i}) (i = 1, 2, …, n}) definieren. Dies kann etwa mit Hilfe einer Tabelle oder einer Zeichnung geschehen.

\underline{\underline{(17.4) DEF:}} f : M ⟶ N und g : M′ ⟶ N′ seien Abbildungen. Dann ist die Gleichheit f = g definiert durch:

f = g : ⟺ \{ \begin{matrix}M = M′ \\ N = N′ \\ ∀ x ∈ M : f(x) = g(x) \end{matrix}

Sind f, g : M ⟶ N zwei Abbildungen mit demselben Definitionsbereich und derselben Wertemenge, so gilt:

f = g ⟺ ∀ x ∈ M : f(x) = g(x)
f ≠ g ⟺ ∃ x_{0} ∈ M : f(x_{0}) ≠ g(x_{0})

\underline{\underline{(17.5) DEF:}} f : M ⟶ N sei eine Abbildung.

a) Für eine Teilmenge U ⊆ M heißt f(U) := { f(x) | x ∈ U } ⊆ N die Bildmenge von U unter f.

Insbesondere heißt f(M) =: Bild(f) das Bild vonf.

b) Für eine Teilmenge V ⊆ N heißt f^{−1}(V ) := { x | x ∈ M, f(x) ∈ V } ⊆ M die Urbildmenge von V unter f.

Achtung: f^{−1}(V ) ist die Menge aller Urbilder von allen Elementen aus V . Dies hat nichts mit der Existenz einer Umkehrabbildung zu tun!

\underline{\underline{(17.6) DEF:}} Sind f : M ⟶ N und g : N ⟶ P Abbildungen, so ist die Abbildung g ∘ f : M ⟶ P definiert durch

(g ∘ f)(x) := g(f(x)) (∀ x ∈ M)

g ∘ f heißt die Hintereinanderausführung von f und g.

\underline{\underline{(17.7) SATZ:}} Für Abbildungen f : M ⟶ N , g : N ⟶ P und h : P ⟶ Q gilt

(h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f)

d.h. es gilt das Assoziativ–Gesetz für die Hintereinanderausführung von Abbildungen.

\underline{\underline{(17.8) DEF:}} Sei f : M ⟶ N eine Abbildung.

a) f heißt injektiv, wenn jedes Element aus N höchstens ein Urbild unter f in M besitzt.

b) f heißt surjektiv, wenn jedes Element aus N mindestens ein Urbild unter f in M besitzt.

c) f heißt bijektiv, wenn jedes Element aus N genau ein Urbild unter f in M besitzt.

Wir schreiben diese Eigenschaften einmal formal auf: \underline{\underline{(17.9) BEM:}} Sei f : M ⟶ N eine Abbildung.

a) f injektiv ⟺ ( ∀ x_{1} ∈ M ∀ x_{2} ∈ M : f(x_{1}) = f(x_{2}) ⟹ x_{1} = x_{2} )
⟺ ( ∀ x_{1} ∈ M ∀ x_{2} ∈ M : x_{1} ≠ x_{2} ⟹ f(x_{1}) ≠ f(x_{2}) )
b) f surjektiv ⟺ ( ∀ y ∈ N ∃ x ∈ M : y = f(x) )
⟺ Bild(f) = N .
c) f bijektiv ⟺ f injektiv und surjektiv

\underline{\underline{(17.10) Beispiele:}} a) f : � ⟶ � , f(n) := n + 1 ist injektiv, aber nicht surjektiv.

b) g : � ⟶ � , g(n) := \{ \begin{matrix}0 & für & n = 0 \\ n − 1 & für & n ≥ 1 \end{matrix} ist surjektiv, aber nicht injektiv.

c) h : � ⟶ � , h(z) := z + 1 ist bijektiv.

d) k : � ⟶ � , k(z) := 0 ist weder injektiv noch surjektiv.

\underline{\underline{(17.11) LEMMA:}} f : M ⟶ N und g : N ⟶ P seien Abbildungen. Dann gilt:

a) Sind f und g beide injektiv (surjektiv bzw. bijektiv), so ist g ∘ f injektiv (surjektiv bzw. bijektiv).

b) Ist g ∘ f injektiv (surjektiv), so ist f injektiv (g surjektiv).

c) Ist g ∘ f bijektiv, so ist f injektiv und g surjektiv.

\underline{\underline{(17.12) SATZ:}} Für eine Abbildung f : M ⟶ N sind folgende Aussagen äquivalent:

a) f ist bijektiv

b) Es existiert eine Abbildung g : N ⟶ M mit den Eigenschaften g ∘ f = id_{M} und f ∘ g = id_{N} .

\underline{\underline{(17.13) BEM:}} Ist f bijektiv, so ist die Abbildung g aus b) eindeutig bestimmt und selbst wieder bijektiv. g heißt Umkehrabbildung von f und wird mit f^{−1} bezeichnet.

Achtung: Nur eine bijektive Abbildung besitzt eine Umkehrabbildung. Die Bezeichnung f^{−1} macht erst dann Sinn, wenn klar ist, daß f bijektiv ist.

\underline{\underline{(17.14) SATZ:}} f : M ⟶ N und g : N ⟶ P seien Abbildungen. Dann gilt:

a) f bijektiv ⟹ f^{−1} bijektiv und (f^{−1})^{−1} = f .

b) Sind f und g bijektiv, so ist auch g ∘ f bijektiv, und es gilt (g ∘ f)^{−1} = f^{−1} ∘ g^{−1}.

\underline{\underline{(17.15) SATZ:}} Sei M eine nichtleere Menge und A := A(M, M) die Menge aller Abbildungen von M in M. Dann gilt:

a) Die Hintereinanderausführung ist eine assoziative Verknüpfung auf A mit id_{M} als neutralem Element.

b) f ∈ A ist genau dann invertierbar bzgl. ∘, wenn f bijektiv ist.

c) Die Menge der bijektiven Abbildungen von M auf M bildet bzgl. ∘ eine Gruppe. Diese Gruppe heißt die symmetrische Gruppe von M und wird mit (S_{M}, ∘) bezeichnet.

d) (S_{M}, ∘) ist genau dann eine abelsche Gruppe, wenn M höchstens zwei Elemente enthält.

\underline{\underline{(17.15a) BEM:}} Im Falle M = \{1, 2, 3 …, n\} ⊆ IN (n ≥ 1) schreibt man auch S_{n} für S_{M}. Es ist also

S_{n} = {π | π : {1, 2, 3 …, n} ⟶ {1, 2, 3 …, n} bijektive Abbildung }

Ein π ∈ S_{n} läßt sich als Permutation der Zahlen 1, 2, 3 …, n auffassen. Insbesondere ist (S_{n}, ∘) eine Gruppe, die sog. symmetrische Gruppe von n Zahlen. Es gibt n! Permutationen von n Zahlen. Für π ∈ S_{n} schreibt man anschaulich

π = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & … & n \\ π(1) & π(2) & π(3) & … & π(n) \end{matrix} )

\underline{\underline{(17.16) DEF:}} M und N seien nichtleere Mengen.

a) M heißt gleichmächtig zu N (in Zeichen: M ∼ N), wenn es eine bijektive Abbildung M ⟶ N gibt.

b) M heißt endlich, wenn es ein n ∈ IN \ {0} gibt mit M ∼ {1, 2, 3, …, n} ⊆ IN. Die Zahl n wird dann die Anzahl der Elemente von M genannt. Bezeichnung: n =: |M| .

c) Die leere Menge ist endlich mit | ∅ | := 0 .

d) Ist M nicht endlich, so heißt M unendlich (|M| := ∞).

\underline{\underline{(17.17) Beispiele:}} a) ∅ , \{1\} , \{1, 2, 3, 4\} , \{3, 9, 12, …, 24\} sind endliche Mengen .

b) �, �, �, �, � sind unendliche Mengen.

c) {2, 4, 6, 8, 10} ∼ {1, 2, 3, 4, 5} , � ∼ � , � ∼ � , � ≁ � , � ∼ � Wir führen nun lineare Abbildungen als “strukturverträgliche” Abbildungen zwischen Vektorräumen ein. Sei A ∈ M_{m,n}(K) eine beliebige Matrix. Wir definieren eine Abbildung

f_{A} : K^{n} ⟶ K^{m} , f_{A}(v) := Av (∀ v ∈ K^{n})

Nach (9.7) gilt dann

f_{A}(v + v′) = f_{A}(v) + f_{A}(v′) (∀ v, v′ ∈ K^{n})
f_{A}(αv) = αf_{A}(v) (∀ α ∈ K , ∀ v ∈ K^{n})

Wir nehmen dies als Anlass für die folgende Definition:

\underline{\underline{(17.18) DEF:}} K sei ein beliebiger Körper. V und W seien Vektorräume über K. Eine Abbildung f : V ⟶ W heißt K–linear (oder kurz linear oder auch K–Homomorphismus), wenn gilt: L_{1}) f(v + v′) = f(v) + f(v′) (∀ v, v′ ∈ V ) L_{2}) f(α v) = α f(v) (∀ α ∈ K , ∀ v ∈ V ) . Die Menge aller K–linearen Abbildungen von V nach W wird mit Hom_{K}(V, W) bezeichnet.

\underline{\underline{(17.19) Beispiele:}} a) Jede Matrix A ∈ M_{m,n}(K) definiert durch die Vorschrift

f_{A}(v) := Av (∀ v ∈ K^{n})

eine K–lineare Abbildung f_{A} : K^{n} ⟶ K^{m}.

b) Ist V ein K–Vektorraum, so ist die Identität id_{V} : V ⟶ V eine K–lineare Abbildung.

c) Sind V, W K–Vektorräume, so ist die Nullabbildung o : V ⟶ W , v ⟼ o_{W}, eine K–lineare Abbildung.

\underline{(17.20) SATZ:}

Eigenschaften linearer Abbildungen

V und W seien K–Vektorräume über einem beliebigen Körper K. Für eine K–lineare Abbildung f : V ⟶ W gilt:

a) f(o_{V}) = o_{W}

b) f(−v) = −f(v) für alle v ∈ V

c) f(v − v′) = f(v) − f(v′) für alle v, v′ ∈ V

d) f(av + a′v′) = af(v) + a′f(v′) für alle a, a′ ∈ K, v, v′ ∈ V

e) f (∑_{i=1}^{n}a_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{n}a_{i}f(v_{i}) (∀ a_{i} ∈ K, v_{i} ∈ V ).