§ 15 . Gruppen, Ringe und Körper

A) Mengen mit Verknüpfungen

\underline{\underline{(15.1) DEF:}} Eine Verknüpfung (oder Rechenoperation) ⋆ auf einer nichtleeren Menge M ordnet je zwei Elementen x und y aus M in eindeutiger Weise wieder ein Element aus M zu, das mit x ⋆ y bezeichnet wird. Ist ⋆ eine Verknüpfung auf M, so heißt (M, ⋆) eine Menge mit Verknüpfung .

(15.2) Beispiele:

\underline{\underline{(15.3) DEF:}} Sei ⋆ eine Verknüpfung auf einer Menge M .

a) ⋆ heißt assoziativ, wenn gilt ∀ x, y, z ∈ M : (x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z)

b) ⋆ heißt kommutativ, wenn gilt ∀ x, y ∈ M : x ⋆ y = y ⋆ x

c) Ein Element e ∈ M heißt neutral bzgl. ⋆, wenn gilt:

∀ x ∈ M : x ⋆ e = x = e ⋆ x.

(15.4) Beispiele:

\underline{\underline{(15.5) BEM:}} Ist ⋆ eine Verknüpfung auf M, so gibt es höchstens ein bzgl. ⋆ neutrales Element in M .

\underline{\underline{(15.6) DEF:}} Sei (M, ⋆) eine Menge mit einer Verknüpfung ⋆ und einem bzgl. ⋆ neutralen Element e ∈ M . Ein Element x ∈ M heißt invertierbar bzgl. ⋆, wenn es ein Element y ∈ M gibt mit der Eigenschaft

x ⋆ y = e = y ⋆ x

(15.7) Beispiele:

\underline{\underline{(15.8) SATZ:}} (M, ⋆) sei eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung ⋆ und einem neutralen Element e ∈ M . Dann gilt:

a) Ist x ∈ M invertierbar bzgl. ⋆, so gibt es \underline{genau} ein y ∈ M mit der Eigenschaft x⋆y = e = y ⋆x. y heißt dann das Inverse von x bzgl. ⋆ und wird mit \overline{x} bezeichnet. Es gilt

x ⋆ \overline{x} = e = \overline{x} ⋆ x

b) Sind x_{1}, x_{2} ∈ M invertierbar bzgl. ⋆, so ist auch x_{1} ⋆ x_{2} invertierbar bzgl. ⋆, und es gilt

\overline{x_{1} ⋆ x_{2}} = \overline{x_{2}} ⋆ \overline{x_{1}}

c) e ist invertierbar bzgl. ⋆ mit \overline{e} = e

d) Ist x ∈ M invertierbar bzgl. ⋆, so ist auch \overline{x} invertierbar bzgl. ⋆, und es gilt \overline{\overline{x}} = x.

B) Gruppen

\underline{\underline{(15.9) DEF:}} G sei eine Menge und ⋆ eine Verknüpfung auf G. Dann heißt (G, ⋆) eine Gruppe, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

i) ⋆ ist assoziativ ii) Es gibt ein bzgl. ⋆ neutrales Element e in G iii) Jedes Element aus G ist invertierbar bzgl. ⋆. Ist darüberhinaus ⋆ kommutativ, so heißt (G, ⋆) eine kommutative Gruppe oder eine abelsche Gruppe .

\underline{\underline{(15.10) BEM:}} (G, ⋆) ist genau dann eine Gruppe, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: G_{0}) ∀ a, b ∈ G : a ⋆ b ∈ G G_{1}) ∀ a, b, c ∈ G : (a ⋆ b) ⋆ c = a ⋆ (b ⋆ c) G_{2}) ∃ e ∈ G ∀ a ∈ G : a ⋆ e = a = e ⋆ a G_{3}) ∀ a ∈ G ∃ b ∈ G : a ⋆ b = e = b ⋆ a Gilt zusätzlich G_{4}) ∀ a, b ∈ G : a ⋆ b = b ⋆ a so ist (G, ⋆) eine abelsche Gruppe.

\underline{\underline{(15.11) Beispiele:}} für abelsche Gruppen:

a) (ℤ, +), (ℚ, +), (ℝ, +) (nicht aber (ℕ, +) )

b) (ℚ \ {0}, ·), (ℝ \ {0}, ·) (nicht aber (ℤ \ {0}, ·) )

c) (V, +) , falls V ein Vektorraum ist.

d) (ℝ^{n}, +) , (M_{m,n}(ℝ), +)

e) (ℤ_{n}, ⊕)

f) (ℤ_{3} \ {0}, ⊙) (nicht aber (ℤ_{4} \ {0}, ⊙) )

\underline{\underline{(15.12) SATZ:}} In einer Gruppe (G, ⋆) gelten die folgenden Kürzungsregeln:

a) ∀ a, x, y ∈ G : a ⋆ x = a ⋆ y ⟹ x = y

b) ∀ a, x, y ∈ G : x ⋆ a = y ⋆ a ⟹ x = y

\underline{\underline{(15.13) FOLG:}} Sei (G, ⋆) eine endliche Gruppe. Dann kommt in jeder Zeile und in jeder Spalte der Verknüpfungstafel (Gruppentafel) von (G, ⋆) jedes Element von G genau einmal vor.

\underline{\underline{(15.14) DEF:}} (G, ⋆) sei eine Gruppe mit dem neutralen Element e. Eine Teilmenge U ⊆ G heißt eine Untergruppe von (G, ⋆) , wenn gilt: UG_{1}) U ist abgeschlossen bzgl. ⋆ (d.h. ∀ a, b ∈ U : a ⋆ b ∈ U) UG_{2}) e ∈ U UG_{3}) ∀ a ∈ U : \overline{a} ∈ U .

\underline{\underline{(15.15) Beispiele:}} a) \{e\} und G sind Untergruppen von (G, ⋆)

b) Sei k ∈ ZZ fest: ZZ k := {zk | z ∈ ZZ } ist eine Untergruppe von (ZZ, +)

c) Ist U ein Untervektorraum des Vektorraumes V, so ist U eine Untergruppe von (V, +)

d) IR_{>0} := {r|r ∈ IR, r > 0} ist eine Untergruppe von (IR \ {0}, ·) .

\underline{C) Ringe}

\underline{\underline{(15.16) DEF:}} R sei eine Menge mit zwei Verknüpfungen + und ·. (Diese werden Addition bzw. Multiplikation auf R genannt). (R, +, ·) heißt ein Ring , wenn gilt: R_{1}) (R, +) ist eine abelsche Gruppe R_{2}) Die Verknüpfung · ist assoziativ und besitzt ein neutrales Element R_{3}) Es gelten die Distributivgesetze: ∀ a, b, c ∈ R: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) , (a + b) · c = (a · c) + (b · c) Ist zusätzlich die Verknüpfung · kommutativ, so heißt (R, +, ·) ein kommutativer Ring .

\underline{Bezeichnungen:} a) 0_{R} ∈ R neutrales Element bzgl. + (Nullelement)

b) 1_{R} ∈ R neutrales Element bzgl. · (Einselement)

c) −r inverses Element von r ∈ R bzgl + (negatives Element von r)

d) r − s := r + (−s) (Differenz von r und s)

e) In R_{3}) vereinfacht man die Bezeichnungsweise zu a · (b + c) = a · b + a · c (“Punktrechnung geht vor Strichrechnung”) und häufig (wie gewohnt) zu a(b + c) = ab + ac.

\underline{\underline{(15.17) Beispiele:}} für kommutative Ringe:

a) ℤ , ℚ , ℝ

b) (ℝ^{n}, +, ·) mit den Verknüpfungen : (x_{i}) + (y_{i}) := (x_{i} + y_{i}) , (x_{i}) · (y_{i}) := (x_{i} · y_{i})

c) ∅ ≠ M ⊆ ℝ : Abb(M, ℝ) mit den Verknüpfungen: ∀ x ∈ M : (f + g)(x) := f(x) + g(x) , (f · g)(x) := f(x) · g(x) (Man sagt: Die Verknüpfungen sind “argumentweise” definiert), Beweis s. Aufgabe 11a)

d) (ℤ_{n}, ⊕, ⊙) für alle n ∈ ℕ, n ≥ 1 .

\underline{\underline{(15.18) SATZ:}} (R, +, ·) sei ein Ring. Dann gelten die folgenden Rechenregeln für beliebige r, s ∈ R:

a) −(−r) = r b) −(r + s) = −r − s

c) r · 0_{R} = 0_{R} = 0_{R} · r

d) r · (−s) = −(r · s) = (−r) · s

e) (−r) · (−s) = r · s s ∈ R) .

\underline{\underline{(15.19) DEF:}} (R, +, ·) sei ein Ring. Eine Teilmenge U ⊆ R heißt ein Unterring von R, wenn gilt: UR_{1}) ∀ a, b ∈ U : a − b ∈ U UR_{2}) ∀ a, b ∈ U : a · b ∈ U UR_{3}) 1_{R} ∈ U .

\underline{\underline{(15.20) BEM:}} a) Ein Unterring U ⊆ R ist für sich betrachtet wieder ein Ring. Seine Verknüpfungen sind die Einschränkungen der Verknüpfungen des Ringes R auf U .

b) ℤ ist ein Unterring von ℚ und auch von ℝ.

c) U := \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ ℚ \} ⊆ ℝ ist ein Unterring von ℝ.

c) Für k ∈ ℤ \ {−1, 1} ist ℤk kein Unterring von ℤ.

\underline{\underline{(15.21) SATZ:}} Sind R und S Ringe, so ist auch das kartesische Produkt R × S ein Ring mit den “komponentenweise” erklärten Verknüpfungen (r, s) + (r′, s′) := (r + r′, s + s′) , (r, s) · (r′, s′) := (r · r′, s · s′)

\underline{\underline{(15.22) DEF:}} (R, +, ·) sei ein Ring. Ein Element r ∈ R heißt Einheit in R, wenn r invertierbar bzgl. · ist. Das Inverse einer Einheit r ∈ R wird mit r^{−1} bezeichnet. Die Menge aller Einheiten in einem Ring R werde mit R^{⋆} bezeichnet.

\underline{\underline{(15.23) Beispiele:}} a) ℤ^{⋆} = \{1, −1\}

b) ℚ^{⋆} = ℚ \ {0} , ℝ^{⋆} = ℝ \ {0}

c) R sei ein Ring. Dann ist (R^{⋆}, ·) eine Gruppe (s. Aufgabe 8), insbesondere gilt also 1_{R} ∈ R^{⋆}

d) Im Falle 1_{R} ≠ 0_{R} kann 0_{R} keine Einheit in einem Ring R sein.

Chr.Nelius , Lineare Algebra II (SS 2005) 5 \underline{\underline{(15.24) DEF:}} a) Ein Ring R heißt nullteilerfrei wenn gilt:

∀ x, y ∈ R : x · y = 0_{R} ⟹ x = 0_{R} ∨ y = 0_{R} .

b) Ein kommutativer nullteilerfreier Ring R mit 1_{R} ≠ 0_{R} heißt ein Integritätsbereich (IB) . \underline{\underline{(15.25) Beispiele:}} a) ℤ, ℚ, ℝ sind Integritätsbereiche.

b) Die Ringe ℝ × ℝ und (ℤ_{4}, ⊕, ⊙) sind keine Integritätsbereiche. \underline{\underline{(15.26) DEF:}} R sei ein Ring. Eine nichtleere Teilmenge I ⊆ R heißt ein Ideal von R, wenn gilt:

1) ∀ a, b ∈ I : a − b ∈ I

2) ∀ x ∈ R ∀ a ∈ I : ax ∈ I ∧ xa ∈ I. \underline{\underline{(15.27) BEM:}} In einem kommutaiven Ring R ist Ra := \{ra | r ∈ R\} für jedes a ∈ R ein Ideal. Ra =: (a) heißt das von a erzeugte Hauptideal. \underline{\underline{(15.28) SATZ:}} In dem Ring ℤ ist jedes Ideal ein Hauptideal. \underline{\underline{(15.29) DEF:}} Ein R heißt ein Hauptidealbereich (HIB), wenn gilt:

1) R ist ein Integritätsbereich

2) Jedes Ideal von R ist ein Hauptideal . \underline{\underline{Beispiel:}} ℤ ist ein HIB .