§ 14 . Euklidische Vektorräume

Wir wollen hier die Überlegungen aus dem 1. Kapitel weiterführen und verallgemeinern. Der Anschauungsraum trägt nicht nur die algebraische Struktur eines Vektorraumes sondern er trägt auch eine geometrische Struktur, die sich in der Möglichkeit, Winkel und Längen zu messen, wiederspiegelt. Diese Struktur wollen wir auf allgemeinere Vektorräume übertragen.

Grundlage für Längen– und Winkelmessung im Anschauungsraum ist das Skalarprodukt. Wir verallgemeinern zunächst diese Begriffsbildung.

\underline{(14.1) DEF:} V sei ein beliebiger Vektorraum über dem Körper IR der reellen Zahlen.

a) Eine Abbildung s : V × V ⟶ IR heißt ein Skalarprodukt auf V, wenn gilt

SP_{1}) s ist IR–bilinear, d.h. für alle v, v_{1}, v_{2}, w, w_{1}, w_{2} ∈ V und α ∈ IR gilt:

s(v_{1} + v_{2}, w) = s(v_{1}, w) + s(v_{2}, w) , s(α v, w) = α s(v, w)
s(v, w_{1} + w_{2}) = s(v, w_{1}) + s(v, w_{2}) , s(v, α w) = α s(v, w)

SP_{2}) s ist symmetrisch, d.h. s(v, w) = s(w, v) ∀ v, w ∈ V .

SP_{3}) s ist positiv definit, d.h. s(v, v) > 0 ∀ v ∈ V \ {o_{V} }.

b) Ist s ein Skalarprodukt auf V, so heißt (V, s) ein euklidischer IR–Vektorraum.

Bezeichnung: Wir werden häufig ein Skalarprodukt auf V mit ⟨ , ⟩ bezeichnen.

\underline{(14.2) BEISPIELE:} a) V := IR^{n} , v := (a_{i}) , w := (b_{i}) ∈ V. Dann wird durch

s(v, w) := ∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i}

ein Skalarprodukt definiert. s heißt kanonisches Skalarprodukt auf IR^{n}. Im Falle n = 3 ist dies gerade das in Kapitel I behandelte Skalarprodukt auf dem Anschauungsraum.

b) Es sei V := C([0, 1], IR) ⊆ A([0, 1], IR) der IR–Vektorraum aller stetigen Abbildungen von dem Intervall [0, 1] nach IR . Für f, g ∈ V sei definiert:

⟨f, g⟩ := ∫_{0}^{1} f(x)g(x) dx

Dann ist ⟨ , ⟩ ein Skalarprodukt auf dem (unendlichdimensionalen) IR–Vektorraum V.

Wir übertragen nun den Begriff der Länge auf beliebige euklidische Vektorräume.

\underline{(14.3) SATZ:} (V, ⟨ , ⟩) sei ein euklidischer Vektorraum. Dann ist für v ∈ V die Norm von v oder die Länge von v definiert durch

||v|| := \sqrt{⟨v, v⟩}

Die Norm hat folgende Eigenschaften:

N_{1}) ∀ v ∈ V : ||v|| ≥ 0 und ||v|| = 0 ⟺ v = o_{V}
N_{2}) ∀ a ∈ IR ∀ v ∈ V : ||av|| = |a| · ||v||
N_{3}) ∀ v, w ∈ V : ||v + w|| ≤ ||v|| + ||w|| (Dreiecksungleichung).

\underline{BEM:} Wegen SP_{1}) und SP_{3}) gilt ⟨v, v⟩ ≥ 0 ∀ v ∈ V, so daß die Norm in (14.3) sinnvoll definiert ist.

Zum Beweis der Dreiecksungleichung benötigt man das folgende Ergebnis:

(14.4) SATZ:

Cauchy–Schwarz’sche Ungleichung

Ist (V, ⟨ , ⟩) ein euklidischer Vektorraum, so gilt

|⟨v, w⟩| ≤ ||v|| · ||w|| ∀ v, w ∈ V

Die Gleichheit gilt genau dann, wenn {v, w} linear abhängig ist.

\underline{(14.5) DEF:} V sei ein Vektorraum. Eine Abbildung || || : V ⟶ IR heißt eine Norm auf V, wenn die drei Bedingungen N_{1}), N_{2}) und N_{3}) aus (14.3) erfüllt sind. In diesem Falle nennt man (V, || ||) einen normierten Vektorraum .

\underline{(14.6) DEF:} (V, || ||) sei ein normierter Vektorraum. Dann wird der Abstand d(v, w) zweier Vektoren v, w ∈ V definiert durch

d(v, w) := ||v − w||

\underline{(14.7) BEM:} Die Abbildung d : V × V ⟶ IR , definiert durch d(v, w) := ||v − w|| für v, w ∈ V erfüllt die Eigenschaften einer Metrik oder Abstandsfunktion, d.h. es gelten die folgenden Eigenschaften:

M_{1}) d(v, w) ≥ 0 und d(v, w) = 0 ⟺ v = w

M_{2}) d(v, w) = d(w, v)

M_{3}) d(v, w) ≤ d(v, u) + d(u, w) für alle u, v, w ∈ V .

Seien v, w zwei Vektoren ≠ o_{V} in einem euklidischen Vektorraum (V, ⟨ , ⟩). Aus (14.4) ergibt sich

−1 ≤ \frac{⟨v, w⟩}{||v|| · ||w||} ≤ 1

Daher gibt es genau ein φ ∈ [ 0, π] mit

cos(φ) = \frac{⟨v, w⟩}{||v|| · ||w||}

Aus diesem Grunde definieren wir:

\underline{(14.8) DEF:} (V, ⟨ , ⟩) sei ein euklidischer Vektorraum. Der Winkel φ zwischen zwei Vektoren v, w ∈ V \ {o_{V} } ist definiert durch

φ := arccos (\frac{⟨v, w⟩}{||v|| · ||w||}) (φ ∈ [0, π])

Die folgende Definition ist motiviert durch:

⟨v, w⟩ = 0 ⟺ cos(φ) = 0 ⟺ φ = \frac{π}{2}

\underline{(14.9) DEF:} (V, ⟨ , ⟩) sei ein euklidischer Vektorraum.

a) Zwei Vektoren v, w ∈ V heißen orthogonal , in Zeichen v ⊥ w , wenn ⟨v, w⟩ = 0 gilt.

b) Sind S, T nichtleere Teilmengen von V, so bedeute S ⊥ T, daß ⟨v, w⟩ = 0 für alle v ∈ S und w ∈ T gilt.

c) S^{⊥} := { v | v ∈ V, v ⊥ S } heißt das orthogonale Komplement von S in V .

d) Eine Menge {v_{i}| i ∈ I} heißt ein Orthonormalsystem (ONS) in (V, ⟨ , ⟩), wenn gilt: ⟨v_{i}, v_{k}⟩ = δ_{ik} ∀ i, k ∈ I

Dabei bezeichnet δ_{ik} das Kroneckersymbol.

e) Ein Orthonormalsystem in (V, ⟨ , ⟩), das auch eine Basis des Vektorraumes V ist, heißt eine Orthonormalbasis (ONB) von (V, ⟨ , ⟩).

\underline{(14.10) LEMMA:} (V, ⟨ , ⟩) sei ein euklidischer Vektorraum. Dann gilt:

a) Jedes ONS ist linear unabhängig.

b) Ist {v_{1}, …, v_{n}} ein ONS in V, so gilt: v ∈ L_{IR}(v_{1}, …, v_{n}) ⟺ v = ∑_{i=1}^{n}⟨v, v_{i}⟩v_{i}

c) Ist {v_{1}, …, v_{n}} eine ONB in V, so gilt für Vektoren v = ∑_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} , w = ∑_{i=1}^{n} b_{i}v_{i} ∈ V:

⟨v, w⟩ = ∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} .

Der nächste Satz beruht auf dem sog. Orthonormalisierungsverfahren von E. Schmidt:

\underline{(14.11) SATZ:} (V, ⟨ , ⟩) sei ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum. Dann läßt sich jedes Orthonormalsystem S zu einer Orthonormalbasis von V ergänzen.

\underline{Beweisidee:} Sei S := \{s_{1}, …, s_{m}\}. Dann ist S nach (14.10a) linear unabhängig. Ergänze im Falle m < n := dim_{IR}(V) S zu einer Basis B = {s_{1}, …, s_{m}, v_{m+1}, …, v_{n}} von V. Definiere:

s′_{m+1} := v_{m+1} − ∑_{i=1}^{m}⟨v_{m+1}, s_{i}⟩ s_{i}

Dann ist s′_{m+1} ein Vektor ≠ o_{V}, der auf allen Vektoren aus S senkrecht steht. Setze

s_{m+1} := \frac{s′_{m+1}}{||s′_{m+1}||}

Dann ist {s_{1}, …, s_{m}, s_{m+1}} ein Orthonormalsystem in V. Setze das Verfahren im Falle m+1 < n entsprechend fort. Nach endlich vielen Schritten ist ein Orthonormalsystem in V mit n Elementen konstruiert, das dann eine Orthonormalbasis von V ist.

\underline{(14.12) FOLG:} Jeder endlich dimensionale euklidische Vektorraum V ≠ O besitzt eine Orthonormalbasis .

\underline{(14.13) LEMMA:} (V, ⟨ , ⟩) sei ein euklidischer Vektorraum und U ein Untervektorraum von V . Dann gilt:

a) U^{⊥} ist ein Untervektorraum von V .

b) U ⊆ (U^{⊥})^{⊥}

\underline{Bew:} Siehe Aufgabe 2 .

\underline{(14.14) SATZ:} Sei (V, ⟨ , ⟩) ein endlich dimensionaler euklidischer Vektorraum und U ⊆ V ein Untervektorraum von V . Dann gilt:

V = U ⊕ U^{⊥}

\underline{(14.15) FOLG:} Sei (V, ⟨ , ⟩) ein endlich dimensionaler euklidischer Vektorraum und U ⊆ V ein Untervektorraum von V . Dann gilt:

U = (U^{⊥})^{⊥}

\underline{Bew:} Siehe Aufgabe 2 .