Chr. Nelius: Lineare Algebra II (SS 2005)

Musterlösung für Aufgabe 29

29. Aufgabe: V sei ein K–Vektorraum und f : V ⟶ V sei eine K–lineare Abbildung mit der Eigenschaft f ∘ f = f . Ferner seien U := Kern(f) und W := Bild(f) . Beweise:

a) ∀ w ∈ W : f(w) = w b) ∀ v ∈ V : v − f(v) ∈ U

c) Im Falle f ≠ id_{V} ist f nicht injektiv d) V = U ⊕ W .

Lösung:

a) Für w ∈ W = Bild(f) gibt es ein v ∈ V mit w = f(v) . Folglich

\underline{f(w)} = f(f(v)) = (f ∘ f)(v) = f(v) = \underline{w} .

b) f(v − f(v)) = f(v) − f(f(v)) = f(v) − (f ∘ f)(v) = f(v) − f(v) = o_{V} , d.h.

\underline{v − f(v) ∈ Kern(f) = U}

c) Annahme: f ist injektiv, also U = Kern(f) = O. Wegen b) folgt dann v − f(v) = o_{V} (∀ v ∈ V) und daraus f(v) = v (∀ v ∈ V) , also f = id_{V} im Widerspruch zur Voraussetzung.

d) Für ein beliebiges v ∈ V gilt wegen b)

v = \underbrace{(v − f(v))}_{∈U} + \underbrace{f(v)}_{∈W} ∈ U + W

Das bedeutet V ⊆ U + W . Da U + W ⊆ V sowieso gilt, folgt \underline{V = U + W} .

Sei v ∈ U ∩ W beliebig. Dann folgt f(v) = o_{V} wegen v ∈ U = Kern(f) und f(v) = v nach a) wegen v ∈ W . Daraus ergibt sich v = f(v) = o_{V} , also \underline{U ∩ W = O}. Insgesamt erhält man

V = U ⊕ W