Chr. Nelius: Lineare Algebra II (SS 2005)

Musterlösung für Aufgabe 26

26. Aufgabe: V und W seien endlichdimensionale K–Vektorräume.

a) f : V ⟶ W sei ein K–Monomorphismus. Beweise, daß es einen K–Epimorphismus g : W ⟶ V gibt mit g ∘ f = id_{V} . (Hinweis: Lineare Fortsetzung)

b) f : V ⟶ W sei ein K–Epimorphismus. Beweise, daß es einen K–Monomorphismus h : W ⟶ V gibt mit f ∘ h = id_{W} .

Lösung:

a) Sei B = {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis von V. Da f ein Monomorphismus ist, ist f(B) = {f(v_{1}), …, f(v_{n})} nach (17.30a) linear unabhängig. Ergänze f(B) zu einer Basis

C = \{\underbrace{f(v_{1})}_{=:w_{1}}, …, \underbrace{f(v_{n})}_{=:w_{n}}, w_{n+1}, …, w_{m}\}

von W . Definiere g : W ⟶ V durch lineare Fortsetzung auf der Basis C von W durch

g(w_{i}) := \{ \begin{matrix}v_{i} & für i = 1, 2, …, n (f(v_{i}) = w_{i}) \\ o_{W} & für i = n + 1, …, m \end{matrix}

Dadurch ist eine K–lineare Abbildung g : W ⟶ V erklärt. Es folgt

(g ∘ f)(v_{i}) = g(f(v_{i})) = g(w_{i}) = v_{i} = id_{V} (v_{i}) (i = 1, 2, …, n)

Damit gilt (g ∘ f)|B = id_{V} |B, woraus sich mit (17.32) g ∘ f = id_{V} ergibt. Nach (17.11c) ist g ein Epimorphismus.

b) Sei D = {w_{1}, …, w_{m}} eine Basis von W. Da f ein Epimorphismus ist, besitzt jedes w_{i} mindestens ein Urbild unter f. Wähle zu jedem w_{i} genau ein v_{i} ∈ V mit f(v_{i}) = w_{i}. Definiere durch lineare Fortsetzung eine K–lineare Abbildung h : W ⟶ V mit h(w_{i}) = v_{i} (i = 1, …, m)

(f ∘ h)(w_{i}) = f(h(w_{i})) = f(v_{i}) = w_{i} = id_{V} (w_{i}) (i = 1, 2, …, m)

Damit gilt (f ∘ h)|D = id_{W} |D, woraus sich mit (17.32) f ∘ h = id_{W} ergibt. Nach (17.11c) ist h ein Monomorphismus.