14. (und letztes) Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA II (SS 2005)

Musterlösung

64. Aufgabe: Seien M = ( \begin{matrix}2 & −2 & −4 \\ −1 & 3 & 4 \\ 1 & −2 & −3 \end{matrix} ) , N = ( \begin{matrix}1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ −2 & −1 & −3 \end{matrix} ) ∈ M_{3}(IR) .

a) Rechne nach: M^{2} = M und N^{3} = O, d.h. M ist idempotent und N ist nilpotent.

b) Rechne nach: p_{M} = det(M − T E_{3}) = −T^{3} + 2T^{2} − T und p_{N} = det(N − T E_{3}) = −T^{3} .

c) p_{M} = (−T)(T − 1)^{2} und p_{N} = (−T)^{3} zerfallen beide in Linearfaktoren, M und N sind also trigonalsierbar. 0 ist einfacher EW von M, seine geometrische Vielfachheit ist nach (22.5) dann auch 1. 1 ist ein doppelter EW von M, für seine geometrische Vielfachheit gilt dim_{IR}(Eig(M, 1)) = 3 − rg(M − 1 · E_{3}) = 3 − 1 = 2 . Nach (22.6) ist M diagonalisierbar. 0 ist dreifacher EW von N, seine geometrische Vielfachheit ist dim_{IR}(Eig(N, 0)) = 3 − rg(N) = 3 − 2 = 1 . Damit ist N nach (22.6) nicht diagonalisierbar.

d) Die Determinante ist gleich dem konstanten Glied des charakteristischen Polynoms, in beiden Fällen also 0 .

e) Ähnliche Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom oder dieselbe Spur. Beides ist nicht erfüllt, M ist also nicht ähnlich zu N .

65. Aufgabe: Sei G = \{( \begin{matrix}α & β − α & γ − β \\ 0 & β & γ − β \\ 0 & 0 & γ \end{matrix} ) | α, β, γ ∈ K^{⋆} \} ⊆ M_{3}(K)

a) Rechne nach: A, B ∈ G ⟹ A · B ∈ G (A · B hat die Gestalt der Matizen aus G, und in der Hauptdiagonale sind die Elemente ≠ 0) . Die Matrizenmultiplikation ist bekanntermaßen assoziativ. Es gilt E_{3} ∈ G und E_{3} ist neutral bzgl. der Matrizenmultiplikation. Für A ∈ G gilt det(A) = α · β · γ ≠ 0 , d.h.A ist invertierbar, und es ist

A^{−1} = ( \begin{matrix}α^{−1} & β^{−1} − α^{−1} & γ^{−1} − β^{−1} \\ 0 & β^{−1} & γ^{−1} − β^{−1} \\ 0 & 0 & γ^{−1} \end{matrix} ) ∈ G.

Rechne nach: A · B = B · A für alle A, B ∈ G. Fazit: (G, ·) ist eine abelsche Gruppe. Man kann G auch als Untergruppe von (GL_{3}(K), ·) auffassen.

b) Sei S := ( \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ GL_{3}(K). Dann ist S^{−1} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , und es gilt

S · M · S^{−1} = diag(α, β, γ) für alle M = ( \begin{matrix}α & β − α & γ − β \\ 0 & β & γ − β \\ 0 & 0 & γ \end{matrix} ) ∈ G.

c) Sei G_{1} := \{( \begin{matrix}α & 0 & γ − α \\ 0 & α & γ − α \\ 0 & 0 & γ \end{matrix} ) | α, γ ∈ K^{⋆} \} ⊆ G.

Rechne nach: A, B ∈ G_{1} ⟹ A · B ∈ G_{1} . Es gilt E_{3} ∈ G_{1} . Für A = ( \begin{matrix}α & 0 & γ − α \\ 0 & α & γ − α \\ 0 & 0 & γ \end{matrix} ) ∈ G_{1}

gilt A^{−1} = ( \begin{matrix}α^{−1} & 0 & γ^{−1} − α^{−1} \\ 0 & α^{−1} & γ^{−1} − α^{−1} \\ 0 & 0 & γ^{−1} \end{matrix} ) ∈ G_{1} .

Damit ist G_{1} eine Untergruppe von (G, ·) . Mit der Matrix S aus b) gilt S · M · S^{−1} = diag(α, α, γ) für alle M ∈ G_{1} .

*66. Aufgabe: Sei M := E_{1,2} + E_{2,3} + E_{3,4} = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ M_{4}(IR) und f := f_{M} :

IR^{4} ⟶ IR^{4} die IR–lineare Abbildung mit M als Darstellungsmatrix. f ist nilpotent mit f^{4} = o und f^{k} ≠ o für k = 0, 1, 2, 3 .

c) Wir beweisen sofort die folgende naheliegende Verallgemeinerung von a) und b): Sei dim_{K}(V) = n ≥ 1 . f ∈ End_{K}(V) sei nilpotent mit f^{n} = o und f^{n−1} ≠ o. Dann gilt:

i) Kern(f^{k}) (k = 0, 1, …, n) sind alle f–invarianten Untervektorräume von V . ii) V ist unzerlegbar bzgl. f .

i) Sei U_{k} := Kern(f^{k}) . Wir zeigen zuerst, daß U_{k} f–invariant ist, d.h. f(U_{k}) ⊆ U_{k}. Sei v ∈ U_{K} = Kern(f^{k}) . Dann gilt f^{k}(v) = o_{V} . Es folgt

f^{k}(f(v) = f^{k+1}(v) = f(f^{k}(v)) = f(o_{V}) = o_{V} ,

d.h. f(v) ∈ U_{k}. Nach (23.4a) gilt

(⋆) O = U_{0} ⊆ U_{1} ⊆ U_{2} ⊆ … ⊆ U_{n−1} ⊆ U_{n} = V

Wir wollen zeigen, daß in (⋆) alle Inklusionen echt sind. Annahme: U_{i} = U_{i+1} für ein i < n. Dann ergibt sich wie im Beweis von (23.4b)

O = U_{0} ⊆ U_{1} ⊆ U_{2} ⊆ … ⊆ U_{i} = U_{i+1} = … = U_{n} = V

Aus U_{i} = V folgt f^{i} = o für i < n, im Widerspruch zur Voraussetzung f^{n−1} ≠ o. Also

O = U_{0} ⊂ U_{1} ⊂ U_{2} ⊂ … ⊂ U_{n−1} ⊂ U_{n} = V

Wegen dim_{K}(V) = n folgt hieraus dim_{K}(U_{k}) = k für alle k = 0, 1, 2, …, n. Sei nun U ein beliebiger f–invarianter Unterraum von V . U habe die Dimension k. Beh.: U = U_{k}. Wegen f(U) ⊆ U definiert f durch Einschränkung einen K–Endomorphismus

g : U ⟶ U , u ⟼ f(u)

Wegen f^{n} = o folgt auch g^{n} = o. Nach (23.4a) gilt

(⋆⋆) U ⊇ g(U) ⊇ g^{2}(U) ⊇ … ⊇ g^{k}(U)

Annahme: g^{k}(U) ≠ O. Dann sind in (⋆⋆) alle Inklusionen echt. Würde nämlch g^{i−1}(U) = g^{i}(U) für ein i ∈ {1, 2, …, k} gelten, so würde g^{j}(U) = g^{i−1}(U) für alle j ≥ i − 1 folgen, also O = g^{n}(U) = g^{k}(U) ≠ O. Widerspruch! Also

U ⊃ g(U) ⊃ g^{2}(U) ⊃ … ⊃ g^{k}(U) ≠ O

Hieraus folgt dim_{K}(U_{k}) ≥ k + 1 im Widerspruch zu dim_{K}(U_{k}) = k.

Folglich gilt g^{k}(U) = O, woraus sich

U ⊆ Kern(g^{k}) ⊆ Kern(f^{k}) = U_{k}

ergibt. Aus Dimensionsgründen folgt U = U_{k}.

ii) Gelte V = V_{1} ⊕ V_{2} mit f–invarianten Untervektorräumen V_{1} und V_{2} von V . Es ist zu zeigen: V_{1} = O oder V_{2} = O Nach i) gibt es k, l ∈ {0, 1, 2, …, n} mit V_{1} = U_{k} und V_{2} = U_{l}. Gelte o.B.d.A. k ≤ l. Dann folgt U_{k} ⊆ U_{l}, d.h. V_{1} ⊆ V_{2} . Hieraus ergibt sich

O = V_{1} ∩ V_{2} = V_{1} .

Damit ist V unzerlegbar bzgl. f .