9. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA II (SS 2005)

Abgabe: Do, 16.6.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1+4 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1) Gruppen 2+3 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

37. Aufgabe: Sei M = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ M_{4}(K) .

Bestimme den Rang von M und berechne ggfs. die inverse Matrix für den Fall

a) K = Q  b) K = ZZ_{3} .  (3)

38. Aufgabe: Sp : M_{n}(K) ⟶ K sei die durch lineare Fortsetzung definierte K–lineare Abbildung mit Sp(E_{ik}) = δ_{ik} (∀ i, k = 1, 2, …, n) (dabei ist {E_{ik}|i, k = 1, 2, …, n} die Menge aller Basismatrizen in M_{n}(K)) .

a) Berechne Sp(M) für M = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K)

b) Beweise, daß Sp ein K–Epimorphismus ist, und bestimme die Dimension von Kern(Sp)

c) Beweise: Sp(M · N) = Sp(N · M) (∀ M, N ∈ M_{n}(K) )

d) Seien M, N ∈ M_{n}(K) . Beweise: M ≈ N ⟹ Sp(M) = Sp(N) . (5)

39. Aufgabe: Sei M = ( \begin{matrix}−3 & −2 & 16 & 18 & −1 \\ 0 & 0 & −2 & −2 & 0 \\ 1 & 1 & −5 & −6 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ M_{4,5}(IR) . Berechne invertierbare

Matrizen P ∈ GL_{4}(IR) und Q ∈ GL_{5}(IR) mit der Eigenschaft

P · M · Q = ( \begin{matrix}E_{r} & O \\ O & O \end{matrix} )

wobei r der Rang von M ist . Mache die Probe! (Hinweis: Der Beweis von (18.21) und die Berechnungsmethode (A.8) für die inverse Matrix könnten hilfreich sein!) (3)

40. Aufgabe: Sei D der IR–Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen von IR nach IR . Die Funktionen f_{i} ∈ D seien definiert durch f_{1}(x) = e^{2x} , f_{2}(x) = xe^{2x} , f_{3}(x) = x^{2}e^{2x} (∀ x ∈ IR). Es sei B := {f_{1}, f_{2}, f_{3}} und U := L_{IR}(B) . Ferner sei D : D ⟶ D , f ⟼ f′, die Abbildung, die jedem f ∈ D die Ableitung f′ zuordnet. Beweise:

a) D ist IR–linear

b) D(U) ⊆ U (damit definiert D eine IR–lineare Abbildung d : U ⟶ U)

c) B ist eine Basis von U

d) Bestimme die Darstellungsmatrix M_{B}^{B}(d)

e) Untersuche, ob D und d Isomorphismen sind. (5)

*41. Aufgabe: Unter einem endlichen Kettenkomplex versteht man eine Folge (d_{i})_{i=0,1,...,n+1} von K–linearen Abbildungen d_{i} : V_{i} ⟶ V_{i−1} zwischen endlich dimensionalen K–Vektorräumen V_{i}, wobei V_{n+1} = V_{−1} = O sein soll, für die gilt: d_{i} ∘ d_{i+1} = o (i = 0, 1, …, n) .

O ⟶^{d_{n+1}} V_{n} ⟶^{d_{n}} V_{n−1} ⟶^{d_{n−1}} … ⟶^{d_{2}} V_{1} ⟶^{d_{1}} V_{0} ⟶^{d_{0}} O

Beweise:

a) Bild(d_{i+1}) ⊆ Kern(d_{i}) (∀ i = 0, 1, …, n)

b) Für jedes i = 0, 1, …, n gibt es einen Vektorraum H_{i} und einen Epimorphismus h_{i} : Kern(d_{i}) ⟶ H_{i} mit Kern(h_{i}) = Bild(d_{i+1}) .

c) ∑_{i=0}^{n}(−1)^{i} dim_{K}(V_{i}) = ∑_{i=0}^{n}(−1)^{i} dim_{K}(H_{i}) (∀ n ∈ IN) . (4*)

Internet: http://math–www.uni–paderborn.de/˜ chris