8. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA II (SS 2005)

Abgabe: Do, 9.6.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1+4 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1) Gruppen 2+3 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

33. Aufgabe: Ein Element a eines Ringes (R, +, ·) heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl k ≥ 1 gibt mit a^{k} = 0_{R}. a heißt idempotent , wenn a^{2} = a gilt. Beweise:

a) Ist a ∈ R nilpotent, so ist 1_{R} − a eine Einheit.

b) Ist a ∈ R idempotent und Einheit, so folgt a = 1_{R}.

c) Sei V ein n–dimensionaler K–Vektorraum. Ist dann f ∈ End_{K}(V) nilpotent, so gilt rg_{K}(f^{k}) ≤ max(0, n − k) für alle k ∈ IN . Insbesondere folgt f^{n} = o.

d) Untersuche, ob die folgenden Matrizen über IR nilpotent sind:

M = ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , N = ( \begin{matrix}− sin(x) cos(x) & cos(x) & cos^{2}(x) \\ − sin(x) & 0 & cos(x) \\ − sin^{2}(x) & sin(x) & sin(x) cos(x) \end{matrix} ) , P = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} )

(8)

34. Aufgabe: Sei M = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ M_{3}(IR) .

a) Finde eine Formel für M^{n} (n ≥ 1) und beweise diese.

b) Beweise, daß M invertierbar ist, und berechne M^{−1} . Mache die Probe! (4)

35. Aufgabe: Die IR–lineare Abbildung f : IR^{4} ⟶ IR^{3} sei definiert durch f(v) :=

( \begin{matrix}a_{1} + a_{2} \\ a_{2} + a_{3} \\ a_{3} \end{matrix} ) für v = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \end{matrix} ) ∈ IR^{4} . Seien

B = \{( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )\} und C = \{( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )\}.

a) Beweise, daß B eine Basis von IR^{4} und C eine Basis von IR^{3} ist.

b) Bestimme die Darstellungsmatrix M_{C}^{B}(f) von f bezgl. B und C.

c) Bestimme den Rang von f . d) Berechne den Bildwert f(( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} )) mit Hilfe von M_{C}^{B}(f) . (4)

*36. Aufgabe: Es sei V ein endlichdimensionaler K–Vektorraum. Dann heißt der K– Vektorraum V^{⋆} := Hom_{K}(V, K) der zu V duale Vektorraum. V^{⋆} besteht aus allen Linearformen auf V .

a) Sei B := { v_{1}, …, v_{n} } eine Basis von V . Beweise: es gibt Linearformen f_{i} ∈ V^{⋆} (i = 1, …, n) mit f_{i}(v_{k}) = δ_{ik} (i, k = 1, …, n) , und C := { f_{1}, …, f_{n}} ist eine Basis von V^{⋆}.

b) Jede K–lineare Abbildung f : V ⟶ W definiert eine Abbildung f^{⋆} : W^{⋆} ⟶ V^{⋆} , g ⟼ g ∘ f . Beweise, daß f^{⋆} K–linear ist. Sei A := M_{B}^{B}(f) die Darstellungsmatrix von f bzgl. B. Stelle die Darstellungsmatrix M_{C}^{C}(f^{⋆}) von f^{⋆} bzgl. C in Abhängigkeit von A auf.

c) Zeige, daß es einen Isomorphismus V ⟶ (V^{⋆})^{⋆} gibt. (4*)

Internet: http://math–www.uni–paderborn.de/˜ chris