7. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA II (SS 2005)

Abgabe: Do, 2.6.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1+4 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1) Gruppen 2+3 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

28. Aufgabe: V, W, und X seien endlichdimensionale K– Vektoräume, und f : V ⟶ W und g : W ⟶ X seien K–lineare Abbildungen. Beweise:

a) f K–Monomorphismus ⟹ V ≅ f(V)

b) rg_{K}(g ∘ f) ≤ min(rg_{K}(f), rg_{K}(g))

c) f K–Epimorphismus ⟹ rg_{K}(g ∘ f) = rg_{K}(g)

d) g K–Monomorphismus ⟹ rg_{K}(g ∘ f) = rg_{K}(f) . (4)

29. Aufgabe: V sei ein K–Vektorraum und f : V ⟶ V sei eine K–lineare Abbildung mit der Eigenschaft f ∘ f = f . Ferner seien U := Kern(f) und W := Bild(f) . Beweise:

a) ∀ w ∈ W : f(w) = w b) ∀ v ∈ V : v − f(v) ∈ U

c) Im Falle f ≠ id_{V} ist f nicht injektiv  d) V = U ⊕ W .  (4)

30. Aufgabe: Die IR–lineare Abbildung f : IR^{3} ⟶ IR^{3} sei mit Hilfe linearer Fortsetzung auf der kanonischen Basis {e_{1}, e_{2}, e_{3}} von IR^{3} definiert durch

f(e_{1}) = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) , f(e_{2}) = ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) , f(e_{3}) = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )

a) Beweise, daß f ein IR–Isomorphismus ist

b) Berechne den Bildwert von f^{−1} an der Stelle w = ( \begin{matrix}−8 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} ) ∈ IR^{3}. (3)

31. Aufgabe: Seien v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , v_{4} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) ∈ IR^{4}.

Es ist bekannt, daß B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}} eine Basis von IR^{4} ist. Die IR–lineare Abbildung f : IR^{4} ⟶ IR^{3} sei mit Hilfe linearer Fortsetzung definiert durch

f(v_{1}) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , f(v_{2}) = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) , f(v_{3}) = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ) , f(v_{4}) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

a) Berechne f(w) für w = ( \begin{matrix}4 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} ) (ohne Benutzung der Darstellungsmatrix)

b) Bestimme die Darstellungsmatrix M(f) von f

c) Berechne f(w) mit Hilfe von M(f) (w wie in a) )

d) Bestimme jeweils eine Basis von Kern(f) und Bild(f). (5)

*32. Aufgabe: Es sei V ein K–Vektorraum. Eine K–lineare Abbildung f : V ⟶ V heißt auch ein K–Endomorphismus von V . Mit End_{K}(V) werde die Menge aller K– Endomorphismen von V bezeichnet. Nach (17.21) ist End_{K}(V) = Hom_{K}(V, V) ein K– Vektorraum. Außerdem ist (End_{K}(V), +, ∘) ein Ring. (Man mache sich das klar! Wie steht es mit der Kommutativität?). Gegeben seien zwei K–Endomorphismen p_{1} und p_{2} von V , die folgende Bedingungen erfüllen:

i) p_{1} + p_{2} = id_{V} ii) p_{1} ∘ p_{2} = p_{2} ∘ p_{1} = o iii) p_{1} ∘ p_{1} = p_{1} , p_{2} ∘ p_{2} = p_{2} . Beweise:

a) Bild(p_{1}) = Kern(p_{2}) , Bild(p_{2}) = Kern(p_{1})

b) V = Bild(p_{1}) ⊕ Bild(p_{2})

c) Für jedes f ∈ End_{K}(V) gilt: f = p_{1} ∘ f ∘ p_{1} + p_{1} ∘ f ∘ p_{2} + p_{2} ∘ f ∘ p_{1} + p_{2} ∘ f ∘ p_{2} .

d) Was läßt sich über p_{1} und p_{2} aussagen, wenn p_{1} injektiv oder surjektiv ist?

(3*)

Internet: http://math–www.uni–paderborn.de/˜ chris