6. Übungsblatt LINEARE ALGEBRA II (SS 2005)

Abgabe: Mittwoch, 25.5.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1+4 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1) Gruppen 2+3 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

22. Aufgabe: V, W, X seien K–Vektorräume, und f : V ⟶ W und g : W ⟶ X seien K–lineare Abbildungen. Beweise, daß dann auch g ∘ f : V ⟶ X eine K–lineare Abbildung ist. (2)

23. Aufgabe: Sei V ein endlich–dimensionaler K–Vektorraum und α ∈ K ein festes Element. Die Abbildung f : V ⟶ V sei definiert durch f(v) := α v (∀ v ∈ V).

a) Beweise, daß f eine K–lineare Abbildung ist.

b) Bestimme die Dimension von Kern(f) und Bild(f) . (3)

24. Aufgabe: a) V sei ein K–Vektorraum, und f, g : V ⟶ V seien K–lineare Abbildungen.

i) Beweise: Kern(f) ∩ Kern(g) ⊆ Kern(f + g) , ii) Untersuche, in welcher Teilmengenbeziehung Bild(f) + Bild(g) und Bild(f + g) zueinander stehen. Beweis erforderlich!

b) f : V ⟶ W und g : W ⟶ X seien K–lineare Abbildungen. i) Beweise: Bild(g ∘ f) ⊆ Bild(g) ii) Untersuche, in welcher Teilmengenbeziehung Kern(g∘f) und Kern(f) zueinander stehen. Beweis erforderlich! (3)

25. Aufgabe: a) Finde einen Körper K, einen K–Vektorraum V und einen K–Monomorphismus f : V ⟶ V , der kein K–Epimorphismus ist. Natürlich mit Begründung!

b) Finde einen Körper L, einen L–Vektorraum W und einen L–Epimorphismus g : W ⟶ W , der kein L–Monomorphismus ist. Natürlich mit Begründung! (4)

26. Aufgabe: V und W seien endlichdimensionale K–Vektorräume.

a) f : V ⟶ W sei ein K–Monomorphismus. Beweise, daß es einen K–Epimorphismus g : W ⟶ V gibt mit g ∘ f = id_{V} . (Hinweis: Lineare Fortsetzung)

b) f : V ⟶ W sei ein K–Epimorphismus. Beweise, daß es einen K–Monomorphismus h : W ⟶ V gibt mit f ∘ h = id_{W} . (4)

*27. Aufgabe: Sei f : IR ⟶ IR eine Abbildung mit der Eigenschaft f(x + y) = f(x) + f(y) (∀ x, y ∈ IR). Beweise:

a) f ist Q–linear.

b) Ist f in einem Punkt stetig, so ist f (auf ganz IR) stetig.

c) Ist f stetig, so ist f IR–linear.

d) Ist f stetig, so gibt es ein c ∈ IR mit f = c · id_{IR} . (4*)

Internet: http://math–www.uni–paderborn.de/˜ chris