5. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA II (SS 2005)

Abgabe: Donnerstag, 19.5.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1+4 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1)

Gruppen 2+3 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

17. Aufgabe: Auf der Menge V := IR_{>0} der positiven reellen Zahlen wird eine Addition ♯ definiert durch

r ♯ s := r · s (r, s ∈ V)

und eine Skalarmultiplikation ∗ mit Zahlen aus dem Körper Q durch

q ∗ r := r^{q} (q ∈ Q, r ∈ V)

(Man mache sich klar, wie r^{q} definiert ist!). Beweise, daß (V, ♯, ∗) ein Q–Vektorraum ist. (3)

18. Aufgabe: Die Abbildung k : C ⟶ C sei für beliebiges z ∈ C definiert durch k(z) := \overline{z} (konjugiert komplexe Zahl von z) .

a) Beweise, daß k eine bijektive IR–lineare Abbildung ist (also ein IR–Isomorphismus) . Bestimme die Umkehrabbildung von k.

b) Untersuche, ob die Abbildung k auch C–linear ist. (3)

19. Aufgabe: a) Sei K ein Körper und U ein Unterkörper von K. Beweise, daß K ein Vektorraum über U ist.

b) Sei K := \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ Q\}. Es ist bekannt, daß K ein Unterkörper von IR ist. Begründe, daß K ein Q–Vektorraum ist und bestimme dessen Dimension. (3)

20. Aufgabe: Untersuche in den folgenden Fällen, ob die Abbildung f IR–linear, injektiv oder surjektiv ist. Gib im Falle der Bijektivität auch die Umkehrabbildung an.

a) f : IR^{3} ⟶ IR^{3} , ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}x_{1} \\ 2x_{2} \\ 3x_{3} \end{matrix} ) b) f : IR^{3} ⟶ IR^{2} , ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) ⟼

( \begin{matrix}x_{1} + x_{3} + 1 \\ x_{2} + x_{3} \end{matrix} ) c) f : IR^{2} ⟶ IR^{3} , ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}x_{1} + x_{2} \\ 2x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) (6)

*21. Aufgabe: Sei (G, ⋆) eine endliche Gruppe. Beweise, daß es eine injektive Abbildung ω : G ⟶ S_{G} gibt, für die gilt: ω(a ⋆ b) = ω(a) ∘ ω(b) (∀ a, b ∈ G) (Diese letzte Bedingung besagt, daß ω ein “Gruppenhomomorphismus” ist). Untersuche, ob der Fall eintreten kann, daß ω surjektiv ist. (3*)

Internet: http://math–www.uni–paderborn.de/˜ chris