4. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA II (SS 2005)

Abgabe: Donnerstag, 12.5.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1+4 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1) Gruppen 2+3 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

13. Aufgabe: a) Seien R ein Ring und I, J Ideale in R. Beweise: Dann sind auch I ∩ J und I + J := {a + b | a ∈ I , b ∈ J} Ideale in R.

b) Beweise: Für a, b ∈ ZZ gilt: (a) = (b) ⟺ |a| = |b|.

c) Seien a, b ∈ ZZ . Beweise, daß es genau eine ganze Zahl g ≥ 0 gibt mit (a) + (b) = (g) .

d) Die Teilbarkeitsrelation | auf ZZ sei definiert durch

a|b :⟺ ∃ k ∈ ZZ : ak = b

Beweise: 1) a|b ⟺ (a) ⊇ (b)

2) Die Zahl g aus c) erfüllt die folgenden Bedingungen:

i) g|a und g|b (d.h. g ist ein gemeinsamer Teiler von a und b)

ii) ∀ t ∈ ZZ : (t|a ∧ t|b) ⟹ t|g (d.h. g wird von jedem gemeinsamen Teiler von a und b

geteilt). \underline{Definition:} Die Zahl g ≥ 0 mit i) und ii) heißt größter gemeinsamer Teiler (ggT) von a und b. Fazit: In dieser Aufgabe wird bewiesen, daß zu je zwei ganzen Zahlen a und b der eindeutig bestimmte ggT existiert und daß sich dieser als Linearkombination von a und b mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen läßt . (8)

14. Aufgabe: Beweise: a) Ist U ein Unterkörper von IR, so folgt Q ⊆ U .

b) Der Durchschnitt über alle Unterkörper von IR ist gleich Q \underline{Definition:} Der Durchschnitt P (K) über alle Unterkörper eines Körpers K heißt der Primkörper von K.

c) P (ZZ_{p}) = ZZ_{p} für jede Primzahl p. (4)

15. Aufgabe: Beweise:

a) In einem IB R gilt die folgende Kürzungsregel: ∀ x, y, z ∈ R : (xz = yz ∧ z ≠ 0) ⟹ x = y b) Jeder endliche Integritätsbereich R ist ein Körper. (4)

*16. Aufgabe: Es sei (K, +, ·) ein Körper.

Für ein Element ω ∈ K seien die Verknüpfungen ⊕, ⊙_{ω} auf L := K × K definiert durch

(a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d)
(a, b) ⊙_{ω} (c, d) := (ac + ωbd, ad + bc)

Charakterisiere diejenigen Elemente ω ∈ K, für die (L, ⊕, ⊙_{ω}) ein Körper ist. (Es ist also eine notwendige und hinreichende Bedingung für ω zu finden und zu beweisen, so daß (L, ⊕, ⊙_{ω}) ein Körper ist!) (3*)

Internet: http://math–www.uni–paderborn.de/˜ chris