2. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA II (SS 2005)

Abgabe: Do. 28.4.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1+4 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1) Gruppen 2+3 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

5. Aufgabe: Untersuche in den folgenden Fällen, ob die Verknüpfung ⋆ auf der Menge M i) assoziativ ist ii) kommutativ ist iii) ein neutrales Element besitzt und bestimme alle bzgl. ⋆ invertierbaren Elemente aus M , falls die Antwort in iii) ja lautet:

a) M := ZZ und x ⋆ y := x + y − xy (∀ x, y ∈ M)

b) M := P(IN) und U ⋆ V := (U ∪ V) \ (U ∩ V) (∀ U, V ∈ M)

c) M := IR und x ∗ y := \sqrt{x^{2} + y^{2}} (∀ x, y ∈ M) . (7)

6. Aufgabe: Sei (M, ⋆) eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung. Für x ∈ M und n ∈ IN , n ≥ 1 sei die n–te Potenz x^{n} von x rekursiv definiert durch

\begin{aligned}x^{1} & := & x \\ x^{n} & := & x^{n−1} ⋆ x (n ≥ 2) \end{aligned}

Beweise: x^{m} ⋆ x^{n} = x^{m+n} für alle m, n ∈ IN \ {0} Hinweis: Führe Induktion nach n bei festgehaltenem m. (3)

7. Aufgabe: Stelle die Verknüpfungstafeln von

a) (ZZ_{6}, ⊙) und b) (ZZ_{7}, ⊙) auf. Bestimme in beiden Fällen alle Elemente, die bzgl. ⊙ invertierbar sind. (4)

8. Aufgabe: Sei (M, ⋆) eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung ⋆ und einem bzgl. ⋆ neutralen Element e ∈ M. Beweise: Die Menge I(M) der bzgl. ⋆ invertierbaren Elemente aus M ist eine Gruppe bzgl. ⋆. (2)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris