14. (und letztes) Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA II (SS 2005)

Abgabe: Mittwoch, 20.7.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1+4 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1) Gruppen 2+3 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

64. Aufgabe: Seien M = ( \begin{matrix}2 & −2 & −4 \\ −1 & 3 & 4 \\ 1 & −2 & −3 \end{matrix} ) , N = ( \begin{matrix}1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ −2 & −1 & −3 \end{matrix} ) ∈ M_{3}(IR) .

a) Untersuche, ob M oder N nilpotent bzw. idempotent ist.

b) Bestimme die charakteristischen Polynome von M und von N .

c) Untersuche, ob M oder N diagonalisierbar ist.

d) Berechne auf möglichst einfache Art die Determinanten von M und N .

e) Untersuche, ob M ähnlich zu N ist. (6)

65. Aufgabe: Sei G = \{( \begin{matrix}α & β − α & γ − β \\ 0 & β & γ − β \\ 0 & 0 & γ \end{matrix} ) | α, β, γ ∈ K^{⋆} \} ⊆ M_{3}(K)

eine Menge von oberen Dreiecksmatrizen.

a) Beweise, daß G bzgl. der Matrizenmultiplikation eine abelsche Gruppe ist.

b) Beweise, daß es eine einzige Matrix S ∈ GL_{n}(K) gibt, so daß S · M · S^{−1} für alle M ∈ G eine Diagonalmatrix ist. Wie sieht diese Diagonalmatrix aus?

c) Sei G_{1} := \{( \begin{matrix}α & 0 & γ − α \\ 0 & α & γ − α \\ 0 & 0 & γ \end{matrix} ) | α, γ ∈ K^{⋆} \} ⊆ G. Beweise, daß G_{1} eine Untergruppe

von (G, ·) ist. Wie sieht die Diagonalform der Matrizen aus G_{1} aus? (5)

*66. Aufgabe: Sei M := E_{1,2} + E_{2,3} + E_{3,4} ∈ M_{4}(IR) (E_{ik} ∈ M_{4}(IR) ist eine Basismatrix) und f := f_{M} : IR^{4} ⟶ IR^{4} die IR–lineare Abbildung mit M als Darstellungsmatrix. Beweise a) Kern(f^{k}) (k = 0, 1, 2, 3, 4) sind alle f–invarianten Unterräume von IR^{4}.

b) IR^{4} ist unzerlegbar bzgl. f .

c) Wie läßt sich das gefundene Ergebnis verallgemeinern? (4*)

Internet: http://math–www.uni–paderborn.de/˜ chris

Klausurtermin: 26.7.2005, 8.30–11.30 Uhr. Anmeldung erforderlich!